深入理解动态规划的一系列问题（5）
今天主要面对的问题还是路径问题，回顾最短路的Floyd-Warshall算法，决定还是这里把它实现以下。经过前面的训练，当我们确定一个问题可用动态规划方法求解时，最重要的一步就是要先给出状态定义，其后就可以列出DPFE方程了。那么对于FW算法所求解的全路径最短路问题，问题是要求解一个有向图中的所有节点之间的最短路径。也就是说对于一个N个节点的图，总共有N(N-1)/2个可能组合，求解他们的最短路径。对于这时的状态定义，我们可以参考SPC问题，我们可以定义一个状态(k,p,q)表示从p到q的最短路径，其中k表示不超过k段组成。也就是从p到q不超过k段路径的组合中，最短路径的状态。于是，转移方程也就可以列出来了：
F(k,p,q) = min r∈S{b(p, r)+F(k−1,r,q)},k>0。其中当p=q时，F(0,p,q)=0，当p≠q时，F(0,p,q)=∞，b(p,p)=0，b是路径长度函数。
这样，列出方程，我们可以轻松写递归代码求解问题了。
当然这里还是补充一下Floyd-Warshall算法的状态转移方程：F(k,p,q) = min{F(k−1,p,q),F(k−1,p,k)+F(k−1,k,q)}，其中当p=q时，F(0,p,q)=0，当p≠q时，F(0,p,q)=b(p,q)。可以看出两者的差异，FW算法缩减了SPC问题求解方法的中间变量r，也就是说每次求解min值不需要在一个状态集合里寻求最短，而把min缩小到(k-1,p,q)和(k-1,p,k)+(k-1,k,q)中，这样直接把计算复杂度降了一个量级。
递归Java source code：
1: /*
2: * Copyright (C) 2013 changedi
3: *
4: * Licensed under the Apache License, Version 2.0 (the "License");
5: * you may not use this file except in compliance with the License.
6: * You may obtain a copy of the License at
7: *
8: * http://www.apache.org/licenses/LICENSE-2.0
9: *
10: * Unless required by applicable law or agreed to in writing, software
11: * distributed under the License is distributed on an "AS IS" BASIS,
12: * WITHOUT WARRANTIES OR CONDITIONS OF ANY KIND, either express or implied.
13: * See the License for the specific language governing permissions and
14: * limitations under the License.
15: */
16: package com.jybat.dp;
17:
18: public class APSP {
19:
20: private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;
21:
22: // nodes (s,x,y,t) = {0,1,2,3}, so (s,x) = 3 means d[0][1] = 3
23: private static int[][] distance = {
24: { INF, 5, 3, INF },
25: { INF, INF, 2, 5 },
26: { INF, 1, INF, 8 },
27: { INF, INF, INF, INF }
28: };
29:
30: private static int maxNodeIndex = distance.length-1;
31:
32: private static int[] possibleSuccessors = { 0, 1 };
33:
34: public static double f(int k, int p, int q) {
35: if (k == 0 && p == q)
36: return 0;
37: if (k == 0 && p != q)
38: return distance[p][q];
39: double min = Double.MAX_VALUE;
40: for (int d : possibleSuccessors) {
41: double t = (1 - d) * f(k - 1, p, q) + d * f(k - 1, p, k) + d
42: * f(k - 1, k, q);
43: if (t < min)
44: min = t;
45: }
46: return min;
47: }
48: /**
49: * @param args
50: */
51: public static void main(String[] args) {
52: System.out.println(f(maxNodeIndex,0,3));
53: }
54:
55: }