图像工程:傅里叶变换与小波

无论是图像处理、信号处理，还是做音视频处理等方面的研究，总是避不开的傅里叶变换和小波相关知识。在此，网上看到相关知识，很受启发，特转载其中图片过来共勉，然后，根据本人对其中内容作出相关解释，如下图所示(注：此图片来自网络)。

第一、图中虚线框里的内容，都应该是在高等数学里必学的内容。

• 首先，我们应该知道费马定理(即：函数有极值的条件).通过费马定理，可以证明罗尔定理.接着通过罗尔定理，又可以证明拉格朗日中值定理，然后通过拉格朗日中值定理，又可以继而证明柯西中值定理。证明柯西中值定理的意义在于可以被用来证明泰勒公式。Taylor公式当然是一个叫做Taylor的人提出来的，但是真正证明Taylor公式的人是柯西，因为柯西知道柯西中值定理，而要证明泰勒公式就需要用到柯西中值定理。首先它可以用来证明欧拉公式，欧拉公式在傅里叶变换里面也是必须要用到的。
• 其次，通过Taylor公式可以得到幂级数的展开。这是一个先导，因为无论是wavelet展开，还是fourier展开，如果你理解泰勒展式或者幂级数展开式，那么对应的就很容易解释，人们设计傅里叶展式和wavelet展式的初衷和用意了。高数里的级数主要学两种，除了幂级数以外，另外一个就是fourier级数。

第二、图中黄色框图里的内容都是你在数字信号处理课程里应该学的。在学傅里叶变换之前，要在高数里先学一个傅里叶级数，但是傅里叶级数和傅里叶变换，他们的本质是一样一样的，尽管它们各自公式的表达式好像差别还很大。通过傅里叶级数公式，其实你做一些化简和变量替换，傅里叶级数就变成傅里叶变换了，当然是连续的。然后根据数字信号处理里面学的采样定理，就能到处傅里叶变换了，这就是DFT！但是DFT有个问题，如果按公式计算，效率太低，实用价值不高，后来人们就发明了一个快速算法FFT！

第三、Wavelet完全可以跟傅里叶变换对比着来理解，而且事实上，在小波出现之前，人们先创造出了一种叫短时傅里叶变换的东西，这可以被认为是二者之间的桥梁。小波级数展开对应的是傅里叶展开，连续小波对应连续傅里叶变换，DWT对应DFT。这些都容易理解。而Mallat也开发了一种小波的快速算法FWT。FWT就像FFT在傅里叶变换中的地位。

• 首先，理解FWT必须知道两个基础知识，一个叫做MRA,即:多分辨率分析，学习MRA对于理解小波也非常有意义。因MRA是构建小波的一种方法。另外一个叫做子带编码或子带分解。理解子带分解必须知道QMF，即正交镜像滤波器，而QMF是多采样率信号处理里面的重要内容。所以必须有多采样率信号处理知识的基础，而多采样率信号处理的基础又是数字信号处理。
• 其次，子带编码还有一个理论基础是率失真理论的有关结论。率失真理论又是信息论的重要组成部分。所以，最后这条线学习脉络应该是从信息论出发的，然后才是信号处理，然后是多抽样率处理，然后是子带编码和QMF。

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