Codeforces Round #341 (Div. 2) E. Wet Shark and Blocks（矩阵优化DP）

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题意：给n个数作为一个块，有b个块，从其中若干个中选择数，每个块只能选一个数，最后组成一个数模x等于k的方法数。

思路：很容易想到这样一个DP方程 ： 用dp[i][j]表示现在i位，余数是j。那么很容易知道，边界是d[0][0] = 1；那么dp[i][j] = sum(dp[i-1][a] * cnt[k])，其中a是(a*10 + k)%x == j，k是指枚举放1~9中哪一位，cnt[k]就是k在n个数中出现的次数。

因为b特别大，显然要矩阵优化，知道了DP方程，其实矩阵的构造特别简单。 根据矩阵相乘的规则， 其实这个矩阵就是A[j][(j*10+a[k])%x]++，那么A[i][j]表示的就是j经过一步变成i的方案数，其中a[k]是k取1~n的每个数字。

其实很有规律的，关键还是构造好DP方程。

细节参见代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<stack>
#include<bitset>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<set>
#include<list>
#include<deque>
#include<map>
#include<queue>
#define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define Min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
using namespace std;
typedef long long ll;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-6;
const int INF = 1000000000;
const int mod = 1000000000 + 7;
const int maxn = 50000 + 10;
int T,n,q,u,bb,k,m,x,y,a[maxn];
typedef vector<int> vec;
typedef vector<vec> mat;
mat mul(mat &a, mat &b) {
    mat c(a.size(), vec(a.size()));
    for(int i=0;i<x;i++) {
        for(int k=0;k<x;k++) {
            for(int j=0;j<x;j++) {
                c[i][j] = ((ll)c[i][j] + (ll)a[i][k] * b[k][j]) % mod;
            }
        }
    }
    return c;
}
mat pow(mat a, ll k) {
    mat b(a.size(), vec(a.size()));
    for(int i=0;i<x;i++) {
        b[i][i] = 1;
    }
    while(k > 0) {
        if(k & 1) b = mul(b, a);
        a = mul(a, a);
        k >>= 1;
    }
    return b;
}
int main() {
    while(~scanf("%d%d%d%d",&n,&bb,&k,&x)) {
        mat A(x+3, vec(x+3));
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            scanf("%d",&a[i]);
        }
        for(int i=0;i<x;i++) {
            for(int j=1;j<=n;j++) {
                A[i][(i * 10 + a[j]) % x]++;
            }
        }
        A = pow(A, bb);
        printf("%d\n",A[0][k]);
    }
    return 0;
}