[置顶] 数字图像处理，二维图像小波阈值去噪的C++实现（matlab验证）

本文代码的实现严重依赖前面的两篇文章：

1，一维信号的小波阈值去噪

2，小波变换一维Mallat算法的C++实现

注本文的大部分文字提取于参考论文

一，小波阈值去噪基本理论

      图像在获取或传输过程中会因各种噪声的干扰使质量下降,这将对后续图像的处理产生不利影响.所以必须对图像进行去噪处理,而去噪所要达到的目的就是在较好去除噪声的基础上,良好的保持图像的边缘等重要细节. 在图像去噪领域得到广泛的应用.本博文根据小波的分解与重构原理，实现了基于硬阈值和软阈值函数的小波阈值去噪的C++版本，最终结果与matlab库函数运算结果完全一致。

1，小波阈值处理

小波阈值收缩法是Donoho和Johnstone提出的，一下便是养活不少学者的三篇基础论文：

【1】 Donoho D L. De-noising by soft-thresholding. IEEE Trans- actions on Information Theory, 1995, 41(3): 613−627
【2】 Donoho D L, Johnstone I M. Adapting to unknown smooth- ness via wavelet shrinkage. Journal of the American Statistic
Association, 1995, 90(432): 1200−1224
【3】 Donoho D L, Johnstone I M, Kerkyacharian G, Picard D. Wavelet shrinkage: asymptopia? Journal of Royal Statisti-
cal Society Series B, 1995, 57(2): 301−369

小波阈值去噪其主要理论依据是,小波变换具有很强的去数据相关性,它能够使信号的能量在小波域集中在一些大的小波系数中;而噪声的能量却分布于整个小波域内.因此,经小波分解后,信号的小波系数幅值要大于噪声的系数幅值.可以认为,幅值比较大的小波系数一般以信号为主，而幅值比较小的系数在很大程度上是噪声.于是,采用阈值的办法可以把信号系数保留,而使大部分噪声系数减小至零.小波阈值收缩法去噪的具体处理过程为:将含噪信号在各尺度上进行小波分解,设定一个阈值，幅值低于该阈值的小波系数置为0,高于该阈值的小波系数或者完全保留,或者做相应的“收缩(shrinkage)”处理.最后将处理后获得的小波系数用逆小波变换进行重构,得到去噪后的图像.

2，阈值函数的选取

  阈值去噪中,阈值函数体现了对超过和低于阈值的小波系数不同处理策略，是阈值去噪中关键的一步。设w表示小波系数,T为给定阈值,sign(*)为符号函数,常见的阈值函数有：

硬阈值函数：     （小波系数的绝对值低于阈值的置零，高于的保留不变）

     

软阈值函数：   （小波系数的绝对值低于阈值的置零，高于的系数shrinkage处理）

      

值得注意的是：

1) 硬阈值函数在阈值点是不连续的，在下图中已经用黑线标出。不连续会带来振铃，伪吉布斯效应等。

2) 软阈值函数，原系数和分解得到的小波系数总存在着恒定的偏差,这将影响重构的精度使得重构图像的边缘模糊等现象.

所以这里也添加一种简单的改进阈值函数，我们称之为半阈值（即将软函数中的阈值T缩小）：

         

三种阈值处理策略见下图：

其实不少文章出现各种优秀的改进方案（于是有养活了不少学者，非本文重点）：

参考代码：

%Generate signal and set threshold. 
x = 1:1:100;
y = 0.2*x-10;
thr = 5;
figure(2);
% Perform hard thresholding. 
ythard = myWthresh(y,'hard',thr);
% Perform soft thresholding. 
ytsoft = myWthresh(y,'soft',thr);
% Perform half thresholding. 
ythalf = myWthresh(y,'half',thr);
plot(x,y,x,ythard,x,ytsoft,x,ythalf);title('阈值线');
text(45,-1.1,' \leftarrow 原始线');
text(17,-1.6,' \leftarrow 软阈值线');
text(24,-3.1,' \leftarrow 硬阈值线');
text(32,-1,' \leftarrow 半阈值线');
grid on;

3，阈值的确定

选取的阈值最好刚好大于噪声的最大水平，可以证明的是噪声的最大限度以非常高的概率低于，此阈值是Donoho和Johnstone提出的，其实我一直很想吐槽为什么阈值和信号的size相关呢？当然我的疑问也是大家的疑问，此问题有养活了一批学者，其中根号右边的这个参数（叫做sigma）就是估计出来的噪声标准偏差（第一级分解出的小波细节系数，即整个HH系数的绝对值的中值），本文将用此阈值去处理各尺度上的细节系数。

4，阈值策略

曾经做的ppt挪用过来的。

5，小波阈值去噪过程

   有用信号经小波变换后, 其能量将集中在少数的小波系数上, 而噪声点的小波系数互不相关, 分布在各个尺度的所有时间轴上. 保留小波变换的各尺度下的模极大值点, 而将其他点置零或最大程度的减小, 然后将处理后的小波系数做小波逆变换, 即可达到抑制噪声的目的.阈值去噪是通过对变换域系数与阈值进行比较判断, 然后将处理后的系数进行逆变换重构去噪图像. 小波阈值去噪法的具体步骤如下:

步骤 1. 图像的小波分解: 确定小波函数和分解层次 N, 对图像进行 N 层的小波分解;
步骤 2. 阈值处理: 对分解得到的各层系数选择阈值, 并对细节系数进行阈值判断;
步骤 3. 图像重构: 对阈值处理后的系数通过小波逆变换重建图像.
   信号和噪声在小波域内具有不同的相关性. 信号在尺度间相应位置上的小波系数具有很强的相关性, 而噪声的小波系数则具有弱相关性或者不相关. 在阈值去噪中, 由于所选定的阈值通常固定, 不会随着小波系数的不同而变化, 这就不可避免地会对部分小波系数进行误判，于是又养活了一批学者。。。。。。。

1），小波的分解

2，小波的重构

二，Matlab库函数实现

1，核心库函数说明

1）wavedec2

图像的多级小波分解，将返回分解出来的小波系数以及小波系数的各级长度

2）waverec2

多级小波系数的重构，重构出原信号

3）wthresh函数

对系数进行指定类型（全局阈值或者分层阈值）的阈值去噪处理，软硬阈值处理函数。下图所示程序和运行结果可以比较清晰地看出该程序的执行过程。

clear;
y = linspace(-1,1,100);
thr = 0.4;
ythard = wthresh(y,'h',thr);
ytsoft = wthresh(y,'s',thr);
subplot(311);plot(y);
subplot(312);plot(ythard);
subplot(313);plot(ytsoft);

更具体的函数说明可以在，matlab里键入“doc 函数名”将得到很详细的说明，当然也可以百度

2，软，硬阈值处理效果：

哎哟，不错哦，半阈值去噪效果在视觉上的确有明显的改进效果

局部放大图像：

四幅图象均放大两倍，便于查看区别

这幅图像是源图像放大的效果：

3，完整的代码实现

说明：代码实现对图像一层分解后的细节系数进行全局阈值处理（即LHL,LH,HH均用同一阈值处理）。

% 获取输入参数  
w    = 'db3';%小波类型  
n    = 3;%分解层数   

sorh1 = 'hard';%硬阈值  
sorh2 = 'soft';%软阈值  
sorh3 = 'half';%半阈值   
% 对图像进行小波分解  
[c,l] = wavedec2(octimage,n,w);  
  

%求取阈值  
N = numel(octimage);  
[chd1,cvd1,cdd1] = detcoef2('all',c,l,1);   
cvd1=cvd1(:)';  
sigma = median(abs(cvd1))/0.6745;%提取细节系数求中值并除以0.6745  
thr = sigma*sqrt(2*log(N))/sqrt(1+sqrt(n)); %对阈值做了改进


% 对小波系数全局阈值处理  
cxchard = c;% 保留近似系数  
cxcsoft = c;% 保留近似系数  
cxchalf = c;% 保留近似系数  
justdet = prod(l(1,:))+1:length(c);%截取细节系数（不处理近似系数）  
  
% 阈值处理细节系数  
cxchard(justdet) = myWthresh(cxchard(justdet),sorh1,thr);%硬阈值去噪  
cxcsoft(justdet) = myWthresh(cxcsoft(justdet),sorh2,thr);%软阈值去噪  
cxchalf(justdet) = myWthresh(cxchalf(justdet),sorh3,thr);%软阈值去噪  

%小波重建  
xchard = waverec2(cxchard,l,w);  
xcsoft = waverec2(cxcsoft,l,w);  
xchalf = waverec2(cxchalf,l,w);   

figure(2);   
imshow(uint8(xchard(1:iCount, :)));title('硬阈值去噪图像');    
    
figure(3);   
imshow(uint8(xcsoft(1:iCount, :)));title('软阈值去噪图像');   

figure(4);   
imshow(uint8(xchalf(1:iCount, :)));title('半阈值去噪图像'); 

三，C加加实现

说明：如同一维的阈值去噪一样，在执行自己编写的wavedec2函数时必须先初始化，初始化的目的是为了获取信号的长度，选择的是什么小波，以及分解的等级等信息，然后计算出未来的各种信息，比如每个等级的系数的size，其中共有变量m_msgCL2D记录了这些信息。二维小波分解的初始化函数如下：

//初始化二维图像的分解信息，保存未来需要的信息
bool  CWavelet::InitDecInfo2D(
	const int height,//预分解的图像的高度
	const int width,//预分解的图像的宽度
	const int Scale,//分解尺度
	const int dbn//db滤波器编号，有默认值
	)
{
	if (dbn != 3)
		SetFilter(dbn);

	if (height < m_dbFilter.filterLen - 1 || width < m_dbFilter.filterLen - 1)
	{
		cerr << "错误信息：滤波器长度大于信号的高度或者宽度!" << endl;
		return false;
	}

	int srcHeight = height;
	int srcWidth = width;
	m_msgCL2D.dbn = dbn;
	m_msgCL2D.Scale = Scale;
	m_msgCL2D.msgHeight.resize(Scale + 2);
	m_msgCL2D.msgWidth.resize(Scale + 2);
	//源图像的尺寸
	m_msgCL2D.msgHeight[0] = height;
	m_msgCL2D.msgWidth[0] = width;

	//每一尺度上的尺寸
	for (int i = 1; i <= Scale; i++)//注意：每个尺度的四个分量的长宽是一样的
	{
		int exHeight = (srcHeight + m_dbFilter.filterLen - 1) / 2;//对称拓延后系数的长度的一半
		srcHeight = exHeight;
		m_msgCL2D.msgHeight[i] = srcHeight;

		int exWidth = (srcWidth + m_dbFilter.filterLen - 1) / 2;//对称拓延后系数的长度一半
		srcWidth = exWidth;
		m_msgCL2D.msgWidth[i] = srcWidth;
	}
	m_msgCL2D.msgHeight[Scale + 1] = srcHeight;
	m_msgCL2D.msgWidth[Scale + 1] = srcWidth;

	//计算总的数据个数
	int tmpAllSize = 0;
	int curPartSize = 0;
	int prePartSize = 0;
	for (int i = 1; i <= Scale; i++)
	{
		curPartSize = m_msgCL2D.msgHeight[i] * m_msgCL2D.msgWidth[i];
		tmpAllSize += curPartSize * 4 - prePartSize;
		prePartSize = curPartSize;
	}
	m_msgCL2D.allSize = tmpAllSize;
	m_bInitFlag2D = true;
	return true;
}

1，核心函数的实现

1）二维信号的单次分解

说明：本函数建立在一维的小波分解函数基础上（DWT）

// 二维数据的小波分解
void  CWavelet::DWT2(
	double *pSrcImage,//源图像数据(存储成一维数据，行优先存储)
	int height,//图像的高
	int width,//图像的宽
	double *pDstCeof//分解出来的图像系数
	)
{

	if (!m_bInitFlag2D)
	{
		cerr << "错误信息：未初始化，无法对信号进行分解!" << endl;
		return;
	}

	if (pSrcImage == NULL || pDstCeof == NULL)
	{
		cerr << "错误信息：dwt2数据无内存" << endl;
		Sleep(3000);
		exit(1);
	}
	
	int exwidth = (width + m_dbFilter.filterLen - 1) / 2 * 2;//pImagCeof的宽度
	int exheight = (height + m_dbFilter.filterLen - 1) / 2 * 2;//pImagCeof的高度

	double *tempImage = new double[exwidth*height];

	
	// 对每一行进行行变换
	double *tempAhang = new double[width]; 
	double *tempExhang = new double[exwidth]; // 临时存放每一行的处理数据
	for (int i = 0; i < height; i++)
	{
		for (int j = 0; j < width; j++)
			tempAhang[j] = pSrcImage[i*width + j];//提取每一行的数据

		DWT(tempAhang, width, tempExhang);

		for (int j = 0; j < exwidth; j++)
			tempImage[i*exwidth + j] = tempExhang[j];
	}

	// 对每一列进行列变换
	double *tempAlie = new double[height]; // 临时存放每一列的转置数据
	double *tempexlie = new double[exheight]; // 临时存放每一列的处理数据
	for (int i = 0; i < exwidth; i++)
	{
		// 列转置
		for (int j = 0; j < height; j++)
			tempAlie[j] = tempImage[j*exwidth + i];//提取每一列数据

		//执行变换
		DWT(tempAlie, height, tempexlie);

		// 反转置
		for (int j = 0; j < exheight; j++)
			pDstCeof[j*exwidth + i] = tempexlie[j];
	}

	AdjustData(pDstCeof, exheight, exwidth);//调整数据

	delete[] tempAlie;
	tempAlie = NULL;
	delete[] tempexlie;
	tempexlie = NULL;

	delete[] tempAhang;
	tempAhang = NULL;
	delete[] tempExhang;
	tempExhang = NULL;

	delete[] tempImage;
	tempImage = NULL;
	
}

2）二维信号的单次重构

说明：

//二维小波反变换
void  CWavelet::IDWT2(
	double *pSrcCeof, //二维源图像系数数据
	int dstHeight,//重构出来后数据的高度
	int dstWidth,//重构出来后数据的宽度
	double *pDstImage//重构出来的图像
	)
{
	int srcHeight = (dstHeight + m_dbFilter.filterLen - 1) / 2 * 2;
	int srcWidth = (dstWidth + m_dbFilter.filterLen - 1) / 2 * 2;//pSrcCeof的高度
	IAdjustData(pSrcCeof, srcHeight, srcWidth);//调整成LL,HL,LH,HH

	double *tempAline = new double[srcHeight]; // 临时存放每一列的数据
	double *tempdstline = new double[dstHeight]; // 临时存放每一列的重构结果

	double *pTmpImage = new double[srcWidth*dstHeight];
	// 列重构
	for (int i = 0; i < srcWidth; i++)//每一列
	{
		// 列转置
		for (int j = 0; j<srcHeight; j++)
			tempAline[j] = pSrcCeof[j*srcWidth + i];//提取每一列

		IDWT(tempAline, dstHeight, tempdstline);

		// 反转置
		for (int j = 0; j < dstHeight; j++)
			pTmpImage[j*srcWidth + i] = tempdstline[j];
	}


	// 对每一行进行行变换
	double *tempAhang = new double[srcWidth];
	double *tempdsthang = new double[dstWidth]; // 临时存放每一行的处理数据
	for (int i = 0; i < dstHeight; i++)
	{
		for (int j = 0; j < srcWidth; j++)
			tempAhang[j] = pTmpImage[i*srcWidth + j];//提取每一行的数据

		IDWT(tempAhang, dstWidth, tempdsthang);

		for (int j = 0; j < dstWidth; j++)
			pDstImage[i*dstWidth + j] = tempdsthang[j];
	}


	delete[] tempAline;
	tempAline = NULL;
	delete[] tempdstline;
	tempdstline = NULL;

	delete[] tempAhang;
	tempAhang = NULL;
	delete[] tempdsthang;
	tempdsthang = NULL;

	delete[] pTmpImage;
	pTmpImage = NULL;
}

3）二维信号的多级分解

说明：对于每一级分解都将调用单次二维分解函数来实现，所以本函数是建立在函数IDW2基础上

// 二维小波多级分解，需要先初始化获取未来数据信息
bool CWavelet::WaveDec2(
	double *pSrcData,//源图像数据，存储为一维信号
	double *pDstCeof//分解后的系数，它的大小必须是m_msgCL2D.allSize
	)
{
	if (!m_bInitFlag2D)
	{
		cerr << "错误信息：未初始化，无法对图像进行分解!" << endl;
		return false;
	}
	if (pSrcData == NULL || pDstCeof == NULL)//错误：无内存
		return false;

	int height = m_msgCL2D.msgHeight[0];
	int width = m_msgCL2D.msgWidth[0];
	int scale = m_msgCL2D.Scale;

	// 临时变量，图像数据
	double *tempImage = new double[height*width];
	int maxCoefSize =4 * m_msgCL2D.msgHeight[1] * m_msgCL2D.msgWidth[1];
	double *tempDst = new double[maxCoefSize];

	for (int i = 0; i < height*width; i++)
		tempImage[i] = pSrcData[i];

	int gap = m_msgCL2D.allSize - maxCoefSize;
	for (int i = 1; i <= scale; i++)
	{
		DWT2(tempImage, height, width, tempDst);

		// 低频子图像的高和宽
		height = m_msgCL2D.msgHeight[i];
		width = m_msgCL2D.msgWidth[i];
		
		for (int j = 0; j < height*width; j++)
			tempImage[j] = tempDst[j];//提取低频系数（近似系数）
		//
		for (int j = 0, k = gap; j < 4 * height*width; j++, k++)
			pDstCeof[k] = tempDst[j];//所有系数
		gap -= 4 * m_msgCL2D.msgWidth[i + 1] * m_msgCL2D.msgHeight[i + 1] - height*width;
	}
	delete[] tempDst;
	tempDst = NULL;
	delete[] tempImage;
	tempImage = NULL;
	return true;
}

4）多级分解系数的重构

// 根据多级分解系数重构出二维信号，必须先初始化获取分解信息
bool CWavelet::WaveRec2(
	double *pSrcCoef,//多级分解出的源系数
	double *pDstData//重构出来的信号
	)
{
	if (!m_bInitFlag2D)
	{
		cerr << "错误信息：未初始化，无法对信号进行分解!" << endl;
		return false;
	}
	if (pSrcCoef == NULL || pDstData == NULL)//错误：无内存
		return false;

	int height = m_msgCL2D.msgHeight[0];
	int width = m_msgCL2D.msgWidth[0];
	int decLevel = m_msgCL2D.Scale;

	int maxCeofSize = 4 * m_msgCL2D.msgHeight[1] * m_msgCL2D.msgWidth[1];

	double *pTmpImage = new double[maxCeofSize];

	int minCeofSize = 4 * m_msgCL2D.msgHeight[decLevel] * m_msgCL2D.msgWidth[decLevel];
	for (int i = 0; i < minCeofSize; i++)
		pTmpImage[i] = pSrcCoef[i];

	int gap = minCeofSize;
	for (int i = decLevel; i >= 1; i--)
	{
		int nextheight = m_msgCL2D.msgHeight[i - 1];//重构出来的高度
		int nextwidth = m_msgCL2D.msgWidth[i - 1];//重构出来的宽度
		IDWT2(pTmpImage, nextheight, nextwidth, pDstData);

		if (i > 1)//i==1已经重构出来了，不再需要提取系数
		{
			for (int j = 0; j < nextheight*nextwidth; j++)
				pTmpImage[j] = pDstData[j];
			for (int j = 0; j < 3 * nextheight*nextwidth; j++)
				pTmpImage[nextheight*nextwidth + j] = pSrcCoef[gap + j];
			gap += 3 * nextheight*nextwidth;
		}
	}
	
	delete[] pTmpImage;
	pTmpImage = NULL;

	return true;
}

2，函数正确性验证

1），二维单次分解与重构测试

2）二维多级分解与重构测试

说明：对二维数据进行了5层分解，选取的是小波族db3

3，阈值去噪结果：

说明：本测试只是模拟测试，对图像的处理也是一样的（完全一致）

硬阈值去噪结果

软阈值去噪结果

实际的图像处理结果为：

源噪声图像为：

注意以下是采用：db6，3层分解，软阈值去噪，阈值是在前文提及的阈值基础上缩小2.5倍得到的效果：

注意以下是采用：db6，3层分解，硬阈值去噪，阈值是在前文提及的阈值基础上缩小2.5倍得到的效果：

附带上述matlab验证程序

clc;  
clear all;  
close all;  
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%通过matlab的函数来实现阈值去噪%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %  
X=[ 10, 12, 30, 4, 5, 61, 2, 3;
    41, 5, 6, 27, 3, 4, 15, 6;
    72, 8, 41, 5, 6, 7, 8, 9;
    5, 64, 7, 8, 9, 14, 6, 27;
    8, 9, 40, 31,10, 12, 30, 4;
    50, 61, 2, 3, 41, 5, 6, 27];

X=double(X);  

% 获取输入参数  
wname    = 'db3';%小波类型  
n    = 3;%分解层数  
sorh1 = 'h';%硬阈值  
sorh2 = 's';%软阈值  

% 对图像进行小波分解  
[c,l] = wavedec2(X,n,wname);

%求取阈值
N = numel(X);
[chd1,cvd1,cdd1] = detcoef2('all',c,l,1); 
cvd1=cvd1(:)';
sigma = median(abs(cvd1))/0.6745;%提取细节系数求中值并除以0.6745
thr = sigma*sqrt(2*log(N)); 

% 对小波系数全局阈值处理  
cxch = c;% 保留近似系数  
cxcs = c;% 保留近似系数  
justdet = prod(l(1,:))+1:length(c);%截取细节系数（不处理近似系数）  

% 阈值处理细节系数  
cxch(justdet) = wthresh(cxch(justdet),sorh1,thr);%硬阈值去噪  
cxcs(justdet) = wthresh(cxcs(justdet),sorh2,thr);%软阈值去噪  

%小波重建  
xch = waverec2(cxch,l,wname);  
xcs = waverec2(cxcs,l,wname);  

注：本博文为EbowTang原创，后续可能继续更新本文。如果转载，请务必复制本条信息！

原文地址：http://blog.csdn.net/ebowtang/article/details/40481539

原作者博客：http://blog.csdn.net/ebowtang

参考资源：

【1】《数字图像处理》（冈萨雷斯matlab第二版）
【2】 Donoho D L. De-noising by soft-thresholding. IEEE Trans- actions on Information Theory, 1995, 41(3): 613−627
【3】 Donoho D L, Johnstone I M. Adapting to unknown smooth- ness via wavelet shrinkage. Journal of the American Statistic
Association, 1995, 90(432): 1200−1224
【4】 Donoho D L, Johnstone I M, Kerkyacharian G, Picard D. Wavelet shrinkage: asymptopia? Journal of Royal Statisti-
cal Society Series B, 1995, 57(2): 301−369
【5】杨恢先，王绪四，改进阈值与尺度间相关的小波红外图像去噪
【6】《小波分析及其应用》，孙延奎著
【7】杨建国.小波分析及其工程应用[M].北京：机械工业出版社.2005
【8】毛艳辉.小波去噪在语音识别预处理中的应用.上海交通大学硕士学位论文.2010
【9】matlab各种函数说明，及其内部函数实现