迭代算法讲解

 迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式x=g(x)，然后按以下步骤执行： 
（1）    选一个方程的近似根，赋给变量x0； 
（2）    将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0； 
（3）    当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤（2）的计算。 
若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。上述算法用C程序的形式表示为： 
【算法】迭代法求方程的根 
{    x0=初始近似根； 
   do { 
     x1=x0； 
     x0=g(x1)；    /*按特定的方程计算新的近似根*/ 
     } while ( fabs(x0-x1)>Epsilon)； 
   printf(“方程的近似根是%f\n”，x0)； 
} 
迭代算法也常用于求方程组的根，令 
     X=（x0，x1，…，xn-1） 
设方程组为： 
     xi=gi(X)      (I=0，1，…，n-1) 
则求方程组根的迭代算法可描述如下： 
【算法】迭代法求方程组的根 
   {    for (i=0;i<n;i++)
        x=初始近似根; 
     do { 
       for (i=0;i<n;i++)
          y=x; 
       for (i=0;i<n;i++)
          x=gi(X); 
       for (delta=0.0,i=0;i<n;i++)
          if (fabs(y-x)>delta)      delta=fabs(y-x)； 
       } while (delta>Epsilon)； 
     for (i=0;i<n;i++)
        printf(“变量x[%d]的近似根是 %f”，I，x)； 
     printf(“\n”)； 
   } 
   具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况： 
（1）    如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制； 
（2）    方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败