二元关系（续）

关系的性质

关系的五种基本性质

　　关系的性质主要有以下五种：自反性，反自反性，对称性，反对称性和传递性。
定义7.11 设R为A上的关系，
　　（1） 若x(x∈A→<x,x>∈R)，则称R在A上是自反的。
　　（2） 若x(x∈A→<x,x>R)，则称R在A上是反自反的。
　　例如A上的全域关系EA，恒等关系IA都是A上的自反关系。小于等于关系L_A，整除关系D_B分别为A和B上的自反关系。包含关系R是给定集合族A上的自反关系。而小于关系和真包含关系都是给定集合或集合族上的反自反关系。

例7.10 设A={1,2,3}，R₁，R₂，R₃是A上的关系，其中
　　　　R₁＝{<1,1>,<2,2>}
　　　　R₂＝{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
　　　　R₃＝{<1,3>}
说明R₁，R₂和R₃是否为A上的自反关系和反自反关系。
　　解 R₂是自反的,R₃是反自反的,R₁既不是自反的也不是反自反的。

定义7.12 设R为A上的关系，
　　（1） 若xy(x,y∈A∧<x,y>∈R→<y,x>∈R)，则称R为A上对称的关系。
　　（2） 若xy(x,y∈A∧<x,y>∈R∧<y,x>∈R→x=y)，则称R为A上的反对称关系。
　　例如A上的全域关系E_A，恒等关系I_A和空关系都是A上的对称关系。恒等关系I_A和空关系也是A上的反对称关系。但全域关系E_A一般不是A上的反对称关系，除非A为单元集或空集。
例7.11 设A＝{1,2,3}，R₁，R₂，R₃和R₄都是A上的关系，其中
　　　　R₁＝{<1,1>,<2,2>}
　　　　R₂＝{<1,1>,<1,2>,<2,1>}
　　　　R₃＝{<1,2>,<1,3>}
　　　　R₄＝{<1,2>,<2,1>,<1,3>}
说明R₁，R₂，R₃和R₄是否为A上对称和反对称的关系。
　　解 R₁既是对称也是反对称的。R₂是对称的但不是反对称的。R₃是反对称的但不是对称的。R₄既不是对称的也不是反对称的。
定义7.13 设R为A上的关系，若

　　　　xyz(x,y,z∈A∧<x,y>∈R∧<y,z>∈R→<x,z>∈R),
则称R是A上的传递关系。
　　例如A上的全域关系E_A,恒等关系I_A和空关系都是A上的传递关系。小于等于关系，整除关系和包含关系也是相应集合上的传递关系。小于关系和真包含关系仍旧是相应集合上的传递关系。
例7.12 设A＝{1,2,3}，R₁，R₂，R₃是A上的关系，其中
　　　　R₁＝{<1,1>,<2,2>}
　　　　R₂＝{<1,2>,<2,3>}
　　　　R₃＝{<1,3>}
说明R₁，R₂和R₃是否为A上的传递关系。
　　解 R₁和R₃是A上的传递关系，R₂不是A上的传递关系。

关系性质的等价描述

　　下面给出这五种性质成立的充分必要条件。

  定理7.9 设R为A上的关系，则
　　（1） R在A上自反当且仅当I_AR
　　（2） R在A上反自反当且仅当R∩I_A=
　　（3） R在A上对称当且仅当R=R^-1
　　（4） R在A上反对称当且仅当R∩R^-1I_A
　　（5） R在A上传递当且仅当RRR
　　证
　　（1） 必要性。
　　任取<x,y>，由于R在A上自反必有
　　　　<x,y>∈I_Ax,y∈A∧x=y<x,y>∈R
从而证明了I_AR
　　充分性。
　　任取x，有
　　　　x∈A<x,x>∈I_A<x,x>∈R
因此R在A上是自反的。

　　（2） 必要性。用反证法。
　　假设R∩I_A≠，必存在<x,y>∈R∩I_A。由于I_A是A上恒等关系，从而推出x∈A且<x,x>∈R。这与R在A上是反自反的相矛盾。
　　充分性。
　　任取x，则有
　　　　x∈A<x,x>∈I_A<x,x>R (由于R∩I_A=)
从而证明了R在A上是反自反的。

关系的闭包

基本概念

　　设R是A上的关系，我们希望R具有某些有用的性质，比如说自反性。如果R不具有自反性，我们通过在R中添加一部分有序对来改造R，得到新的关系R'，使得R'具有自反性。但又不希望R'与R相差太多，换句话说，添加的有序对要尽可能的少。满足这些要求的R'就称为R的自反闭包。通过添加有序对来构造的闭包除自反闭保外还有对称闭包和传递闭包。

定义7.14 设R是非空集合A上的关系，R的自反（对称或传递）闭包是A上的关系R'，使得R'满足以下条件：
　　（1）R'是自反的（对称的或传递的）
　　（2）RR'
　　（3）对A上任何包含R的自反（对称或传递）关系R''有R'R''。
　　一般将R的自反闭包记作r(R)，对称闭包s(R)，传递闭包记作t(R)。

闭包的性质

定理7.13 设R是非空集合A上的关系，
　　（1）若R是自反的，则s(R)与t(R)也是自反的。
　　（2）若R是对称的，则r(R)与t(R)也是对称的。
　　（3）若R是传递的，则r(R)是传递的。
　　证 只证（2）。
　　由于R是A上的对称关系，所以R=R^-1，同时I_A=I_A^-1。得
　　　　(R∪I_A)^-1=R^-1∪I_A^-1
从而推出
　　　　r(R)^-1=(R∪R⁰)^-1=(R∪I_A)^-1=R^-1∪I_A^-1=R∪I_A=r(R)
这就证明了r(R)是对称的。
　　为证明t(R)是对称的，先证明下述命题：
　　若R是对称的，则Rⁿ也是对称的，其中n是任何正整数。
　　用归纳法。
　　n=1，R¹=R显然是对称的。
　　假设Rⁿ是对称的，则对任意的<x,y>有
　　　　<x,y>∈Rⁿ⁺¹
　 　<x,y>∈RⁿR
　 　t(<x,t>)∈Rⁿ∧<t,y>∈R)
　 　t(<t,x>∈Rⁿ∧<y,t>∈R)
　 　<y,x>∈RRⁿ
　 　<y,x>∈R¹⁺ⁿ=Rⁿ⁺¹
所以Rⁿ⁺¹是对称的。由归纳法命题得证。
　　下面证明t(R)的对称性。
　　任取<x,y>
　　　　<x,y>∈t(R)
　 　n(<x,y>∈Rⁿ)
　 　n(<y,x>∈Rⁿ) （因为Rⁿ是对称的）
　 　<y,x>∈t(R)
从而证明了t(R)的对称性。
　　定理7.13讨论了关系性质和闭包运算之间的关系。如果关系R是自反的和对称的，那么经过求闭包的运算以后所得到的关系仍就是自反的和对称的。但是对于传递的关系则不然。它的自反闭包仍旧保持传递性，而对称闭包就有可能失去传递性。例如A={1，2，3}，R={<2,3>}是A上的传递关系，R的对称闭包
　　　　s(R)={<1,3>,<3,1>}
　　显然s(R)不再是A上的传递关系。从这里可以看出，如果计算关系R的自反、对称、传递的闭包，为了不失去传递性，传递闭包运算应该放在对称闭包运算的后边，若令tsr(R)表示R的自反、对称、传递闭包，则
　　　　tsr(R)=t(s(r(R)))

等价关系与划分

等价关系

　　等价关系是一类重要的二元关系。
定义7.15 设R为非空集合上的关系。如果R是自反的、对称的和传递的，则称R为A上的等价关系。设R是一个等价关系，若<x，y>∈R，称x等价于y，记做x～y。
例7.16 设A={1,2,…,8}，如下定义A上的关系R：
　　　　R={<x，y>|x，y∈A∧x≡y(mod 3)}
其中x≡y(mod 3)叫做x与y模3相等，即x除以3的余数与y除以3的余数相等。不难验证R为A上的等价关系，因为
　　　　x∈A，有x≡x(mod 3)
　　　　x，y∈A，若x≡y(mod 3)，则有y≡x(mod 3)
　　　　x，y，z∈A，若x≡y(mod 3)，y≡z(mod 3)，则有x≡z(mod 3)
　　该关系的关系图如图7.5所示。

　　不难看出，上述关系图被分为三个互不相连通的部分。每部分中的数两两都有关系，不同部分中的数则没有关系。每一部分中的所有的顶点构成一个等价类。

等价类的性质

　　下面的定理给出了等价类的性质。
定理7.14 设R是非空集合A上的等价关系，则
　　（1）x∈A，[x]是A的非空子集。
　　（2）x,y∈A，如果xRy，则[x]=[y]。
　　（3）x,y∈A，如果xy，则[x]与[y]不交。
　　（4）∪{[x]|x∈A}=A

　　证
　　（1） 由等价类的定义可知，x∈A由[x]A。又由于等价关系的自反性有x∈[x]，即[x]非空。
　　（2） 任取z，则有
　　　　　　z∈[x]<x,z>∈R<z,x>∈R　　　　　　(因为R是对称的)

因此有
　　　　　　<z,x>∈R∧<x,y>∈R<z,y>∈R　　　 　　(因为R是传递的)
　 　　　<y,z>∈R　　　　　　　　　　　　　　　 　(因为R是对称的)
从而证明了z∈[y].综上所述必有[x][y]。
　　同理可证[y][x]。这就得到了[x]=[y]。
　　（3） 假设[x]∩[y]≠，则存在z∈[x]∩[y]，从而有z∈[x]∧z∈[y]，即<x,z>∈R∧<y,z>∈R成立。根据R的对称性和传递性必有<x,y>∈R，与xy矛盾，即假设错误，原命题成立。
　　（4） 先证∪{[x]|x∈A}A
　　任取y，
　　　　　　y∈∪{[x]|x∈A}
　　　　 x(x∈A∧y∈[x])
　　　　 y∈A　　　　　　　　　　　　　　　　　 　(因为[x]A)
从而有∪{[x]|x∈A}A
　　再证A∪{[x]|x∈A}
　　任取y，
　　　　　　y∈Ay∈[y]∧y∈A
　　　 　y∈∪{[x]|x∈A}
从而有∪{[x]|x∈A}成立。

　　综上所述得∪{[x]|x∈A}=A。

例7.18 给出A＝{1,2,3}上所有的等价关系
　　解 如图7.6，先做出A的所有划分。

　这些划分与A上的等价关系之间的一一对应是：π₁对应于全域关系E_A，π₅的对应于恒等关系I_A，π₂，π₃和π₄分别对应于等价关系R₂，R₃和R_4。 其中
　　　　R₂={<2,3>,<3,2>}∪I_A
　　　　R₃={<1,3>,<3,1>}∪I_A
　　　　R₄={<1,2>,<2,1>}∪I_A

商集与划分

　　由非空集合A和A上的等价关系R可以构造一个新的集合——商集。
定义7.17 设R为非空集合A上的等价关系，以R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集，记做A/R，即
　　　　A/R={[x]_R|x∈A}
　　例7.16中的商集为{{1,4,7},{2,5,8},{3,6}}而整数集合Z上模n等价关系的商集是{{nz+i|z∈Z}|i=0,1,…,n-1}和等价关系及商集有密切联系的概念是集合的划分。先给出划分的定义。
定义7.18 设A为非空集合，若A的子集族π(πP(A)，是A的子集构成的集合)满足下面的条件：
　　（1）π
　　（2）xy(x，y∈π∧x≠y→x∩y=)
　　（3）∪π=A
则称π是A的一个划分，称π中的元素为A的划分块。
例7.17 设A＝{a,b,c,d}，给定π₁,π₂,π₃,π₄,π₅,π₆,如下：
　　　　π₁={{a,b,c},{d}}
　　　　π₂={{a,b},{c},{d}}
　　　　π₃={{a},{a,b,c,d}}
　　　　π₄={{a,b},{c}}
　　　　π₅={,{a,b},{c,d}}
　　　　π₆={{a,{a}},{b,c,d}}
则π₁和π₂是A的划分，其它都不是A的划分。因为π₃中的子集{a}和{a,b,c,d}有交，∪π₄≠A，π₅中含有空集，而π₆根本不是A的子集族。
　　把商集A/R和划分的定义相比较，易见商集就是A的一个划分，并且不同的商集将对应于不同的划分。反之，任给A的一个划分π，如下定义A上的关系R：
　　　　R={<x,y>|x,y∈A∧x与y在π的同一划分块中}
则不难证明R为A上的等价关系，且该等价关系所确定的商集就是π。由此可见，A上的等价关系与A的划分是一一对应的。

偏序关系

基本概念

　　下面介绍另一种重要的关系——偏序关系。
定义7.19 设R为非空集合A上的关系。如果R是自反的、反对称的和传递的，则称R为A上的偏序关系，记作。设为偏序关系，如果<x，y>∈，则记作xy，读作“小于或等于”。
　　注意这里的“小于或等于”不是指数的大小，而是在偏序关系中的顺序性。x“小于或等于”y的含义是：依照这个序，x排在y的前边或者x就是y。根据不同偏序的定义，对序有着不同的解释。例如整除关系是偏序关系，36的含义是3整除6。大于或等于关系也是偏序关系，针对这个关系写54是说大于或等于关系中5排在5的前边，也就是5比4大。
　　例如集合A上的恒等关系I_A和空关系都是A上的偏序关系。小于或等于关系，整除关系和包含关系也是相应集合上的偏序关系。一般来说，全域关系E_A不是A上的偏序关系。

定义7.20 设R为非空集合A上的偏序关系，定义
　　(1)x，y∈A，xyxy∧x≠y。
　　(2)x，y∈A，x与y可比xy∨yx。
　　其中xy读作x“小于”y。这里所说的“小于”是指在偏序中x排在y的前边。
　　有以上两个定义可知，在具有偏序关系的集合A中任取两个元素x和y，可能有下述几种情况发生：
　　　　xy(或yx)，x＝y，x与y不是可比的。
　　例如A＝{1，2，3}，是A上的整除关系，则有
　　　　12，13，
　　　　1=1，2=2，3=3，
　　　　2和3不可比。

定义7.21 设R为非空集合A上的偏序关系，如果x，y∈A，x与y都是可比的，则称R为A上的全序关系(或线序关系)。
　　例如数集上的小于或等于关系是全序关系，因为任何两个数总是可比大小的。但整除关系一般来说不是全序关系，如集合{1,2,3}上的整除关系就不是全序关系，因为2和3不可比。
定义7.22 集合A和A上的偏序关系一起叫做偏序集，记作<A,>。
　　例如整数集合Z和数的小于或等于关系≤构成偏序集<Z,≤>，集合A的幂集P(A)和包含关系R构成偏序集<P(A),R>。

　　利用偏序关系的自反性、反对称性和传递性可以简化一个偏序关系的关系图，得到偏序集的哈斯图。为了说明哈斯图的画法，首先定义偏序集中顶点的覆盖关系。

定义7.23 设<A,>为偏序集。x,y∈A，如果xy且不存在z∈A使得xyz，则称y覆盖x。

　　例如{1,2,4,6}集合上的整除关系，有2覆盖1，4和6都覆盖2。但4不覆盖1，因为有124。6也不覆盖4，因为46不成立。

　　在画偏序集<A，>的哈斯图时，首先适当排列顶点的顺序使得：x，y∈A，若xy，则将x画在y的下方。对于A中的两个不同元素x和y，如果y覆盖x，就用一条线段连接x和y。

例7.19 画出偏序集<{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，R整除>和<P({a,b,c}),R>的哈斯图。

解 两个哈斯图如图7.7所示。

例7.20 已知偏序集<A,R>的哈斯图如图7.8所示，试求出集合A和关系R的表达式。

　　解　A={a,b,c,d,e,f,g,h}  R={<b,d>,<b,e>,<b,f>,<c,d>,<c,e>,<c,f>,<d,f>,<e,f>,<g,h>}∪I_A

偏序集中的特殊元素

　　下面考虑偏序集中的一些特殊元素。
定义7.24 设<A，>为偏序集，BA，y∈B。
　　（1）若x(x∈B→yx)成立，则称y为B的最小元。
　　（2）若x(x∈B→xy)成立，则称y为B的最大元。
　　（3）若x(x∈B∧xy→x=y)成立，则称y为B的极小元。
　　（4）若x(x∈B∧yx→x=y)成立，则称y为B的极大元。
　　从以上定义可以看出，最小元与极小元是不一样的。最小元是B中最小的元素，它与B中其它元素都可比；而极小元不一定与B中元素可比，只要没有比它小的元素，它就是极小元。对于有穷集B，极小元一定存在，但最小元不一定存在。最小元如果存在，一定是唯一的，但极小元可能有多个。如果B中只有一个极小元，则它一定是B的最小元。类似的，极大元与最大元也有这种区别。
例7.21 设偏序集<A，>如图7.8所示，求A的极小元，最小元，极大元，最大元。
　　解 　极小元：a,b,c,g。
　　　 　极大元：a,f,h。
　　　 　没有最小元与最大元。
　　由这个例子可以知道，哈斯图中的孤立顶点既是极小元也是极大元。
例7.22 设X为集合，A＝P(X)－{}－{X}，且A≠。若|X|=n，问：
　　（1） 偏序集<A,R>是否存在最大元？
　　（2） 偏序集<A,R>是否存在最小元？
　　（3） 偏序集<A,R>中极大元和极小元的一般形式是什么？并说明理由。
　　解 <A,R>不存在最小元和最大元，因为n≥2。
　　考察幂集P(X)的哈斯图，最底层的顶点是空集，记作第0层。由底向上，第1层是单元集，第2层是二元子集，…由|X|=n，则第n－1层是X的n－1元子集，第n层，也就是最高层只有一个顶点X。偏序集<A,R>与<P(X),R>相比，恰好缺少第0层与第n层(因为X是n元集)。因此<A,R>的极小元就是X的所有单元集，即{x}，x∈X；而极大元恰好少一个元素，即X-{x}，x∈X。

定义7.25 设<A，>为偏序集，BA，y∈A。
　　（1） 若x(x∈B→xy)成立，则称y为B的上界。
　　（2） 若x(x∈B→yx)成立，则称y为B的下界。
　　（3） 令C＝{y|y为B的上界}，则称C的最小元为B的最小上界或上确界。
　　（4） 令D＝{y|y为B的下界}，则称D的最大元为B的最大下界或下确界。
　　由以上定义可知，B的最小元一定是B的下界，同时也是B的最大下界。同样的，B的最大元一定是B的上界，同时也是B的最小上界。但反过来不一定正确，B的下界不一定是B的最小元，因为它可能不是B中的元素。同样的，B的上界也不一定是B的最大元。
　　B的上界，下界，最小上界，最大下界都可能不存在。如果存在，最小上界与最大下界是唯一的。
　　考虑图7.8中的偏序集。令B＝{b，c，d}，则B的下界和最大下界都不存在，上界有d和f，最小上界为d。

习题

1．已知A={,{}},求A×P(A)。
2．对于任意集合A,B,C，若A×BA×C,是否一定有BC成立？为什么？
3．设A,B,C,D是任意集合，
　(1) 求证(A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D)。
　(2) 下列等式中哪个成立？那些不成立?对于成立的给出证明，对于不成立的举一反例。
　　　　　(A∪B)×(C∪D)=(A×C)∪(B×D)
　　　　　(A-B)×(C-D)=(A×C)-(B×D)
4．设A,B为任意集合，证明　若A×A=B×B，则 A=B。
5.列出从集合A={1，2}到B={1}的所有的二元关系。
6.列出集合A={2，3，4}上的恒等关系I_A，全域关系E_A，小于或等于关系L_A，整除关系D_A。
7.列出集合A={，{}，{，{}}，{，{}，{，{}}}}上的包含关系。
8.设A={1，2，4，6}，列出下列关系R:
　(1) R={<x，y>|x，y∈A∧x+y≠2}
　(2) R={<x，y>|x，y∈A∧|x-y|=1}
　(3) R={<x，y>|x，y∈A∧x/y∈A}
　(4) R={<x，y>|x，y∈A∧y为素数}
9.R_i是X上的二元关系，对于x∈X定义集合
　　　　R_i(x)={y|xR_iy}。
显然Ri(x)X。如果X={-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}，且令
　　　　R₁={<x，y>|x，y∈X∧x<y}
　　　　R₂={<x，y>|x，y∈X∧y-1<x<y+2}
　　　　R₃={<x，y>|x，y∈X∧x²≤y}
求R₁(0)，R₁(1)，R₂(0)，R₂(-1)，R₃(3)。
10.设A={0，1，2，3}，R是A上的关系，且
　　　　R={<0，0>，<0，3>，<2，0>，<2，1>，<2，3>，<3，2>}
给出R的关系矩阵和关系图。
11．设
　　　　Ａ={<1,2>,<2,4>,<3,3>}
　　　　Ｂ={<1,3>,<2,4>,<4,2>}
求A∪B,A∩B,domA,dom(A∪B),ranA,ranB,ran(A∩B),fld(A-B)。
12．设
　　　　R={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>}
求RR,R^-1 ,R{0,1},R[{1,2}]。
13. 设
　　　　A={<,{,{}}>,<{},>}
求A^-1,A²,A³,A{},A[],A,A{{}},A[{{}}]。
14. 设A={a,b,c,d}，R₁,R₂为A上的关系，其中
　　　　R₁={<a,a>,<a,b>,<b,d>}
　　　　R₂={<a,d>,<b,c>,<b,d>,<c,b>}
求R₁R₂, R₂R₁,R₁²,R₂³。
15．设A={a,b,c}，试给出A上两个不同的关系R₁和R₂,使得 R₁²=R₁, R₂³=R₂。
16．证明定理7.4的(1)，(2)，(4)。答案
17．证明定理7.5的(2)，(3)。答案
18．设R₁和R₂为A上的关系，证明：
　（1）(R₁∪R₂)^-1=R₁^-1∪R₂^-1
　（2）(R₁∩R₂)^-1=R₁^-1∩R₂^-1

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