图像处理中的数学原理详解（Part8） ——傅立叶变换的来龙去脉

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图像处理中的数学原理详解（Part1 总纲）

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千呼万唤始出来，我们前面已经做了很多很多的准备，终于可以揭开傅立叶变换的面纱了。当然，在阅读这篇文章之前，请务必保证你已经掌握了傅立叶级数的所有内容，可以参看

图像处理中的数学原理详解（Part4） ——傅立叶级数的概念1

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图像处理中的数学原理详解（Part5） ——傅立叶级数的概念2

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1.4.4  傅立叶变换的由来

这就是傅立叶变换及其反变换的表达式。一般情况下，若“傅立叶变换”一词前不加任何限定语，则指的是“连续傅立叶变换”（连续函数的傅立叶变换）。连续傅立叶变换将频率域的函数F(w) 表示为时间域的函数f(t)的积分形式。而其逆变换则是将时间域的函数f(t)表示为频率域的复指数函数F(w)的积分。一般可称函数f(t)为原函数，而称函数F(w)为傅立叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅立叶变换对。

若f(t)为偶函数，则F(w)将为纯实数，并且同为偶函数（利用这一点便可以得到所谓的余弦变换）；如果f(t)为奇函数，则F(w)将为纯虚数，且同为奇函数；而对任意f(t)， F(w)与F(-w) 始终共轭，这意味着|F(w)| 与|F(-w)| 恒相等，即F(w)的绝对值是偶函数。

傅立叶变换针对的是非周期函数，或者说是周期为无穷大的函数。所以它是傅立叶级数的一个特例。当傅立叶级数的周期 l 趋于无穷时，自然就变成了上面的傅立叶变换。这种关系从二者的表达式中大概能看出点端倪，但也不是特别明显，毕竟它们的表达形式差别仍然很大。如果不把傅立叶级数表达成复数形式，那就更加难看出二者之间的联系了。傅立叶变换要求 f(t)在实数域 上绝对可积，其实可以理解成“傅立叶级数要求函数在一个周期内的积分必须收敛”。

傅立叶变换是信号处理中的重要工具。在信号处理中， f(t)表示的一个信号在时域上的分布情况，而F(w) 则表示一个信号在频域（或变换域）上的分布情况。这是因为 F(w)的分布其实就代表了各角频率波分量的分布。由于 F(w)是复数，|F(w)| 的分布正比地体现了各个角频率波分量的振幅分布。F(w) 的辐角体现了各个角频率波分量的相位分布。平时所说的“频谱图”，其实指的就是|F(w)|的函数图像，它始终是偶函数（这个就是实数了，因为取的是|F(w)| 的幅值而不是 F(w)本身）。对于满足傅立叶变换条件的非周期函数，他们的频谱图一般都是连续的；而对于周期函数，他们的频谱则都是离散的点，只在整数倍角基频（ π/ l）的位置有非零的频谱点存在。根据频谱图可以很容易判断该原函数是周期函数还是非周期的（看频谱图是否连续就可以了），而且对于周期函数，可以从频谱图读出周期大小（相邻的离散点之间的横轴间距就是角基频，这个角频率对应的周期就是原函数的周期）。关于傅立叶变换在信号处理中更加深入的应用读者有必要参阅相关资料，此处我们的介绍旨在帮助读者搞清楚傅立叶变换的由来，并建立傅立叶变换与傅立叶级数之间的关系。

我整理了图像处理中可能用到的一些数学基础，将其分成了6个章节（全文目录见上方链接）。如果你对其中的某一小节特别感兴趣，但是它还没有被发布，你可以在博客下方留言，我会据此调整发布顺序。但是请务必精确地指出章节标号（例如1.3.7 曲面积分），而不是笼统地使用类似“第5章”或者“小波部分”这样的表述。因为等我把全部整个章节发布完，可能三个月的时间都已经过去了。

另外，有读者提出非常希望学习第三章之内容（主要是因为偏微分方程在图像处理中的应用被我辑录在了这部分内容里）。为此，我特别整理出第三章的文稿分享给读者。有需要的读者可以在博客下方留言告知我你的邮箱地址，每满10条邮箱地址，我会统一发送一次完整的第三章文稿。鉴于CSDN的私信功能近来不是很稳定，因此请不要发私信给我，你有可能不会收到任何答复。