【数论】[CQBZOJ2935]病毒分裂

题目描述
A 学校的实验室新研制出了一种十分厉害的病毒。由于这种病毒太难以人工制造 了，所以专家们在一开始只做出了一个这样的病毒。 这个病毒被植入了特殊的微型芯片，使其可以具有一些可编程的特殊性能。最重 要的一个性能就是，专家们可以自行设定病毒的分裂能力K，假如现在有x 个病 毒，下一个分裂周期将会有Kx 个一模一样的病毒。你作为该实验室的数据分析 员，需要统计出在分裂到第N 个周期前，一共有多少个病毒单体进行了分裂。一 开始时总是只有一个病毒，这个局面算作第一个周期。由于答案可能很大，专家 们只需要你告诉他们对给定的P 取模后的答案。
输入
一行三个整数，依次是K, N, P。

输出
一行一个整数，你的答案（对P 取模）

样例输入
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5 3 7
样例输出
6
提示
样例一解释：第一个周期有1 个病毒，产生了一次分裂。第二个周期有1*5=5
个病毒，这五个病毒都会分裂。所以第三个周期前一共进行了1+5 等于6 次分裂。
答案即为6 mod 7 = 6

azui大神的题解。

M应该等于N-2。
然而我并没有这样做。
1+K+K^2+……+K^M=(K^(M+1)-1)/(K-1)
但最后要%p，而除法必须先于模运算
令g=m+1，K^g-1很容易让人想到平方差公式，另p=2^log2(g),r=g-p,K^g=K^p*K^r；
(k^g-1)/(k-1)=((k^(p/2)+1)(k^(p/4)+1)……(k+1)(k-1)k^r+k^r-1)/(k-1)=(k^(p/2)+1)(k^(p/4)+1)……(k+1)*k^r+(k^r-1)/(k-1);

k^r-1可以用同样的方式求解直至r=1;

#include<cstdio>
typedef long long LL;
LL k,p,ans;
unsigned long long n;
LL pow(LL a,LL b,LL p){
    int ret=1;
    while(b){
        if(b&1)
            ret=ret*a%p;
        a=a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}
LL pfc(LL a,LL Log,LL p){
    LL ret=1;
    while(Log--){
        ret=ret*(a+1)%p;
        a=a*a%p;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld",&k,&n,&p);
    n--;
    unsigned long long Log;
    while(n){
        for(Log=0;1LL<<Log<=n&&Log<64;Log++);
        Log--;
        n-=(1LL<<Log);
        ans=(ans+pfc(k,Log,p)*pow(k,n,p))%p;
    }
    printf("%lld\n",ans);
}