命题逻辑等值演算

主要内容

1.	等值式与等值演算。
2.	基本的等值式，其中含：双重否定律、幂等律、交换律、结合律、分配律、德·摩根律、吸收律、零律、同一律、排中律、矛盾律、蕴含等值式、等价等值式、假言易位、等价否定等值式、归谬论。
3.	与主析取范式及主合取范式有关的概念：简单合取式、简单析取式、析取范式、合取范式、极小项、极大项、主析取范式、主合取范式。
4.	联结词完备集（或完全集)。

学习要求

1.	深刻理解等值式的概念。
2.	牢记24个基本等值式，这是等值演算的基础；能熟练地应用它们进行等值演算。
3.	了解简单析取式、简单合取式、析取范式、合取范式的概念。
4.	深刻理解极小项及极大项的定义及它们的名称，及名称下角标与成真赋值的关系。
5.	熟练掌握求公式的主析取范式的方法。
6.	熟练掌由公式的主析取范式求公式的主合取范式的方法。
7.	会用公式的主析取范式（主合取范式）求公式的成真赋值、成假赋值。
8.	会将公式等值地化为任何联结词完备集中的公式。

======================

等值式的概念

两公式什么时候代表了同一个命题呢?抽象地看，它们的真假取值完全相同时即代表了相同的命题。

设公式A,B共同含有n个命题变项，可能A或B有哑元，若A与B有相同的真值表，则说明在2ⁿ个赋值的每个赋值下，A与B的真值都相同。于是等价式AB应为重言式。

定义2.1 设A,B式两个命题公式，若A,B构成的等价式AB为重言式，则称A与B是等值的，记作AB.

定义中给出的符号不是联结词符，它是用来说明A与B等值（AB是重言式）的一种记法，因而是元语言符号。此记号在下文中频繁出现，千万不要将它与混为一谈，同时也要注意它与一般等号=的区别。

判断等值式有如下方法：   

• 1.真值表 
• 2.等值演算
• 3.范式

范式

每种数字标准形都能提供很多信息，如代数式的因式分解可判断代数式的根情况。逻辑公式在等值演算下也有标准形--范式，范式有两种：析取范式和合取范式。

简单合取式和简单析取式

定义2.2 命题变项及其否定统称作文字。仅有有限个文字构成的析取式称作简单析取式。仅有有限个文字构成的合取式称作简单合取式。

   如1:  p,┐q等为一个文字构成简单析趋势，p∨┐p，┐p∨q等为2个文字构成的简单析取式，┐p∨┐q∨r,p∨┐q∨r等为3个文字构成的简单析取式。

   如2:  ┐p,q等为一个文字构成的简单合取式，┐p∧p，p∧┐q等为2个文字构成的简单合取式，p∧q∧┐r,┐p∧p∧q等为3个文字构成的简单合取式。

应该注意，一个文字既是简单析取式，又是简单合取式。为方便起见，有时用A₁,A₂,…,A_s表示s个简单析取式或s个简单合取式。

定理2.1 （1）一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含某个命题变项及它的否定式。

             （2）一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有某个命题变项及它的否定式。

     证明： 设A_i是含n个文字的简单析取式，若A_i中既含有某个命题变项p_j，又含有它的否定式┐p_j，由交换律、排中律和零律可知，A_i为重言式。反之，若A_i为重言式，则它必同时含某个命题变项及它的否定式，否则，若将A_i中的不带否定号的命题变项都取0，带否定号的命题变项都取1，此赋值为A_i的成假赋值，这与A_i是重言式相矛盾。类似的讨论可知，若A_i是含n个命题变项的简单合取式，且A_i为矛盾式，则A_i中必同时含有某个命题变项及它的否定式，反之亦然。

     如：p∨┐p，p∨┐p∨r都是重言式。 ┐p∨q，┐p∨┐q∨r都不是重言式。

范式

定义2.3

    （1）由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。
    （2）由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式。
    （3）析取范式与合取范式统称为范式。

设A_i(i=1,2,…,s)为简单合取式，则A=A₁∨A₂∨…∨A_s为析取范式。例如，A₁=p∧┐q，A₂=┐q∧┐r，A₃=p，则由A₁,A₂,A₃构造的析取范式为
        A=A₁∨A₂∨A₃=(p∧┐q)∨(┐q∧┐r)∨p

类似地，设A_i(i=1,2,…,s)为简单的析取式，则A=A₁∧A₂∧…∧A_s为合取范式。例如，取A₁=p∨q∨r，A₂=┐p∨┐q，A₃=r，则由A₁,A₂,A₃组成的合取范式为
        A=A₁∧A₂∧A₃=(p∨q∨r)∧(┐p∨┐q)∧r

形如┐p∧q∧r的公式既是一个简单合取式构成的析取范式，又是由三个简单析取式构成的合取范式。类似地，形如p∨┐q∨r的公式既是含三个简单合取式的析取范式，又是含一个简单析取式的合取范式。

范式有如下性质。

定理2.2 :

    （1）一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式。
    （2）一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式。

下面的定理是本节最重要的定理之一。

定理2.3

  （范式存在定理）任一命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式。

 证明:首先，我们观察到在范式中不出现联结词→与。由蕴涵等值式与等价等值式可知
         A→B┐A∨B
         AB(┐A∨B)∧(A∨┐B) ..........................（2.17）
因而在等值的条件下，可消去任何公式中的联结词→和。

  其次，在范式中不出现如下形式的公式：
        ┐┐A,┐(A∧B),┐(A∨B)
对其利用双重否定律和德摩根律，可得
        ┐┐AA
        ┐(A∧B)┐A∨┐B
        ┐(A∨B)┐A∧┐B .....................................（2.18）

    再次，在析取范式中不出现如下形式的公式：
        A∧(B∨C)
在合取范式中不出现如下形式的公式：
        A∨(B∧C)
利用分配律，可得
        A∧(B∨C)(A∧B)∨(A∧C)
        A∨(B∧C)(A∨B)∧(A∨C).......................... (2.19)
由（2.17）,（2.18）,（2.19）3步，可将任一公式化成与之等值的析取范式或合取范式。

据此定理，求范式可使用如下步骤：

• 消去联结词→.
• 否定号的消去（利用双重否定律）或内移（利用德摩根律）。 
• 利用分配律：利用∧对∨的分配律求析取范式，∨对∧的分配律求合取范式。

范式的唯一性——主范式

上述范式不唯一，下面追求一种更严格的范式--主范式，它是存在且唯一的。

定义2.4   在含有n个命题变项的简单合取式（简单析取式）中，若每个命题变项和它的否定式不同时出现，而二者之一必出现且仅出现一次，且第i个命题变项或它的否定式出现在从左算起的第i位上（若命题变项无角标，就按字典顺序排列），称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）。

由于每个命题变项在极小项中以原形或否定式形式出现且仅出现一次，因而n个命题变项共可产生2ⁿ个不同的极小项。其中每个极小项都有且仅有一个成真赋值。若成真赋值所对应的二进制数转换为十进制数i，就将所对应极小项记作m_i.类似地，n个命题变项共可产生2ⁿ个极大项，每个极大项只有一个成假赋值，将其对应的十进制数i做极大项的角标，记作M_i。

为了便于记忆，将p,q与p,q,r形成的极小项和极大项分别列在表2.3和2.4上。

表2.3 p,q形成的极小项与极大项

表2.4 p,q,r形成的极小项与极大项

极小项与极大项有下面定理给出的关系。

定理2.4 设m_i与M_i是命题变项p₁,p₂,…,p_n形成的极小项和极大项，则 ┐m_iM_i，┐M_im_i

定义2.5  设由n个命题变项构成的析取范式（合取范式）中所有的简单合取式（简单析取式）都是极小项（极大项），则称该析取范式（合取范式）为主析取范式（主合取范式）。

PS:注意几点========================================================

1. 由公式的主析取范式求主合取范式

    设公式A含n个命题变项。A的主析取范式含s(0<s<2ⁿ)个极小项，即
        A ∨∨…∨,0≤i_j≤2ⁿ-1 ,j=1,2,…,s。
没出现的极小项为,,…,,它们的角标的二进制表示为┐A的成真赋值，因而┐A的主析取范式为
        ┐A = ∨∨…∨
由定理2.4可知
         A
      ┐┐A
      ┐(∨∨…∨)
      ┐ ∧┐∧…∧┐)
      ∧∧…∧
于是，由公式的主析取范式，即可求出它的主合取范式。

例2.13 由公式的主析取范式，求主合取范式：
    （1） Am₁∨m₂ (A中含两个命题变项p,q)
    （2） Bm₁∨m₂∨m₃ (B中含两个命题变项p,q,r)

    解 （1） 由题可知，没出现在主析取范式中的极小项为m₀和m₃，所以A的主合取范式中含两个极大项M₀于M₃，故
        AM₀∧M₃

    (2) B的主析取范式中没出现的极小项为m₀,m₄,m₅,m₆,m₇，因而
        BM₀∧M₄∧M₅∧M₆∧M₇
    反之，由公式的主合取范式，也可以确定主析取范式。

2．重言式与矛盾式的主合取范式

    矛盾式无成真赋值，因而矛盾式的主合取范式含2ⁿ（n为公式中命题变项个数）个极大项。而重言式无成假赋值，因而主合取范式不含任何极大项。将重言式的主合取范式记为1。至于可满足式，它的主合取范式中极大项的个数一定.

3．主析取范式有多少种不同的情况

    含n个命题变项的所有无穷多合式公式中，也它们等值的主析取范式（主合取范式）共有多少种不同的情况。n个命题变项可产生2ⁿ个极小项（极大项），因而共可产生

            
种不同的主析取范式（主合取范式），由定理2.5可知，含n个命题变项的所有公式的主析取范式（主合取范式）最多有种不同情况，这与在1.2节中对真值表个数的讨论情况一样，并且可以看出：

    AB当且仅当A与B有相同的真值表，又当且仅当A与B有相同的主析取范式（主合取范式）。因而可以这样说，真值表与主析取范式（主合取范式）是描述命题公式标准形式的两种不同的等价形式。

===============================================================

联结词的完备集

n元真值函数

ｎ元函数就是有ｎ个自变量的函数。ｎ元真值函数就是自变量和函数值都是真值（即0或1）的函数。

• 一元真值函数有四个，如表2.5

表2.5　1元真值函数

•  二元真值函数有16个，如表2.6

表2.6　2元真值函数

    一般地，n元真值函数共有多少个呢？

    每个自变量有2个取值方式，n个自变量共有2ⁿ 个不同取值方式。对n个自变量的每个取值方式，函数值有2个取值方式，即为0或1，故n元真值函数共有个。

    例如，3元真值函数共有=256个。

    一般地，函数F:{0,1}ⁿ→{0,1}称为n元真值函数，其中：{0,1}ⁿ为{0，1}的卡氏积。

真值函数与命题公式的关系

对于每个真值函数，都可以找到许多与之等值的命题公式。以2元真值函数为例，所有矛盾式都与等值，所有的重言式都与等值。又如 p→q (┐p∨q) ┐(p∧┐q) (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(p∧q)…。更重要的是，每个真值函数与唯一的一个主析取范式（主合取范式）等值。还以2元真值函数为例，0（矛盾式），（p∧q）m₁，（p∧┐q）m₂，（p∧┐q）∨（p∧q）m₂∨m₃,…    反过来，每个主析取范式对应无穷多个与之等值的公式，所以每个真值函数对应无穷多个与之等值的命题公式。由定理2.5可知，每个命题公式对应唯一的与之等值的真值函数。

联结词完备集

定义2.7 设S是一个联结词集合，如果任何n(n≥1)元真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表示，则称S是联结词完备集。

定理2.6 S={┐,∧,∨}是联结词完备集。

    证 因为任何n(n≥1)元真值函数都与唯一的一个主析取范式等值，而在主析取范式中仅含联结词┐,∧,∨，所以S={┐,∧,∨}是联结词完备集。

    推论 以下联结词集都是完备集：
    (1) S₁={┐,∧,∨, →}
    (2) S₂={┐,∧,∨,→,}
    (3) S₃={┐,∧}
    (4) S₄={┐,∨}
    (5) S₅={┐,→}

    证 (1)，(2)的成立是显然的。
    (3) 由于S={┐,∧,∨}是联结词完备集，因而任何真值函数都可以由仅含S中的联结词的公式表示。同时对于任意公式A,B,A∨B┐┐(A∨B)┐(┐A∧┐B),因而任意真值函数都可以由仅含S₃ = {┐,∧}中的联结词的公式表示，所以S₃是联结词完备集。
    （4） A∧B┐(┐A∨┐B)。
    （5） A∨B┐A→B。

     可以证明恒取0值的真值函数（即与矛盾式等值的真值函数）不能由仅含{∧,∨,→,}中联结词的公式表示。因此，{∧,∨,→,}不是联结词完备集。当然，它的任何子集也不是联结词完备集。

    问 1． {┐,}是否为联结词完备集？
        2． {┐,∧,∨，→,}中有无单元素构成联结词完备集？
        3． {┐,∧,∨，→,}中有多少个子集构成联结词完备集？

单元素联结词构成的联结词完备集

根据需要，人们还可构造形式上更为简单的联结词完备集。例如，在计算机硬件设计中，用与非门或者或非门来设计逻辑线路时，就需要构造新联结词完备集。

定义2.8 设p、q为两个命题，复合命题“p与q的否定式”（“p或q的否定式”）称作p,q的与非式（或非式），记作p↑q(p↓q)。符号↑(↓)称作与非联结词（或非联结词）。p↑q为真当且仅当p与q不同时为真（p↓q为真当且仅当p与q同时为假）。

    由定义不难看出
        p↑q ┐(p∧q）, p↓q ┐(p∨q）

定理2.7 {↑}，{↓}都是联结词完备集。

    证 已知{┐,∧,∨}为联结词完备集，因而只需证明其中的每个联结词都可以由↑定义即可。而
            ┐p
          ┐(p∧p）
          p↑p   ............................... (2.20) 

            p∧q
          ┐┐( p∧q)
         ┐( p↑q)       （定义）
          (p↑q)↑(p↑q) （由(2.20)    (2.21) 

            p∨q
         ┐┐( p∨q)
         ┐(┐p∧┐q)
          ┐p↑┐q        （定义）
          (p↑p)↑(q↑q)  （由(2.20)    (2.22)

由（2.20）～(2.22)可知{↑}是联结词完备集，类似可证{↓}是联结词完备集。

↑，↓都是二元联结词。问 能否找到其它2元联结词，其单元素就能构成联结词的完备集？

习题

1．设A、B、C为任意的命题公式。
  （1）已知A∨CB∨C，问：AB一定成立吗？
  （2）已知A∧CB∧C，问：AB一定成立吗？
  （3）已知┐A┐B，问：AB一定成立吗？

2．用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值。
  （1）┐(p∧q→q)
  （2）(p→(p∨q))∨(p→r)
  （3）(p∨q)→(p∧r)
3．用等值演算法证明下面等值式：
  （1）┐(pq)(p∨q)∧┐(p∧q)
  （2）(p∧┐q)∨(┐p∧q)(p∨q)∧┐(p∧q)
4．求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：
  （1）(┐p→q)→(┐q∨p)
  （2）┐(p→q)∧q∧r
  （3）(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)
5．求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：
  （1）┐(q→┐p)∧┐p
  （2）(p∧q)∨(┐p∨r)
  （3）(p→(p∨q))∨r
6．求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求合取范式：
  （1）(p∧q)∨r
  （2）(p→q)∧(q→r)
7．用主析取范式判断下列公式是否等值：
  （1）(p→q)→r与q→(p→r)
  （2）┐(p∧q)与┐(p∨q)
8．用主合取范式判断下列公式是否等值：
  （1）p→（q→r）与┐(p∧q)∨r
  （2）p→（q→r）与(p→q)→r
9．某电路中有一个灯泡和三个开关A,B,C。已知在且仅在下述四种情况下灯亮：
  （1）C的扳键向上，A,B的扳键向下。
  （2）A的扳键向上，B,C的扳键向下。
  （3）B,C的扳键向上，A的扳键向下。
  （4）A,B的扳键向上，C的扳键向下。
设F为1表示灯亮，p,q,r分别表示A,B,C的扳键向上。
  （a）求F的主析取范式。
  （b）在联结词完备集{┐,∧}上构造F.
  （c）在联结词完备集{┐,→,}上构造F.
10．一个排队线路，输入为A,B,C，其输出分别为F_A,F_B,F_C。本线路中，在同一时间内只能有一个信号通过，若同时有两个和两个以上信号申请输出时，则按A,B,C的顺序输出。写出F_A,F_B,F_C在联结词完备集{┐,∨}中的表达式。

-----------------------------------------------------------

参考答案

1．  （1）不一定。（2）不一定。（3）一定。

2．  （1）矛盾式。  （2）重言式。  （3）可满足式，000，001，101，111为成真赋值。

3．（1）    ┐(pq)
 ┐((p→q)∧(q→p))
 ┐((┐p∨q)∧(┐q∨p))
 (p∧┐q)∨(q∧┐p)
 (p∨q)∧(p∨┐p)∧(┐q∨q)∧(┐p∨┐q)
 (p∨q)∧┐(p∧q)

（2）  (p∧┐q)∨(┐p∧q)
 (p∨┐p)∧(p∨q)∧(┐q∨┐p)∧(┐q∨q)
 (p∨q)∧┐(p∧q)

4．（1）m₀∨m₂∨m₃，00，10，11为成真赋值。（2）主析取范式为0，无成真赋值，为矛盾式。（3）m₀∨m₁∨m₂∨m₃∨m₄∨m₅∨m₆∨m₇，为重言式。

5．（1）M₀∧M₁∧M₂∧M₃，为矛盾式。（2）M₄，成假赋值为100。（3）主合取范式为1，为重言式。

6．  （1）m₁∨m₃∨m₅∨m₆∨m₇M₀∧M₂∧M₄  （2）m₀∨m₁∨m₃∨m₇M₂∧M₄∧M₅∧M₆

7．（1）  (p→q)→r)m₁∨m₃∨m₄∨m₅∨m₇
       q→(p→r)m₀∨m₁∨m₂∨m₃∨m₄∨m₅∨m₇
  所以(p→q)→r)q→(p→r)

  （2）      ┐(p∧q)m₀∨m₁∨m₂
      ┐(p∨q)m₀
  所以┐(p∧q)┐(p∨q)

8．  （1）     p→(q→r)M₆
                    ┐(p∧q)∨rM₆
  所以p→(q→r)┐(p∧q)∨r
  （2）      p→(q→r)M₆
                  (p→q)→rM₀∧M₁∧M₂∧M₆
  所以p→(q→r)(p→q)→r

9．  (a)  由条件（1）-（4）可知，F的主析取范式为
    F(┐p∧┐q∧r)∨(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧q∧r)∨(p∧q∧┐r)
     m₁∨m₄∨m₃∨m₆
     m₁∨m₃∨m₄∨m₆
  (b)  先化简公式
    F(┐p∧┐q∧r)∨(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧q∧r)∨(p∧q∧┐r)
     ┐q∧((┐p∧r)∨(p∧┐r))∨q∧((┐p∧r)∨(p∧┐r))
     (┐q∨q)∧((┐p∧r)∨(p∧┐r))
     (┐p∧r)∨(p∧┐r)
     ┐(┐(┐p∧r)∧┐(p∧┐r)) （已为{┐,∧}中公式）
  (c)    F(┐p∧r)∨(p∧┐r)
     ┐┐(┐p∧r)∨(p∧┐r)
     ┐(┐p∧r) →(p∧┐r)
     (p∨┐r) →┐(┐p∨r)
     (r→p) →┐(p→r)       （已为{┐,→,}中公式）

10．根据题目中的要求，先写出F_A,F_B,F_C的真值表（myself(^_^)）
    由真值表可先求出他们的主析取范式，然后化成{┐,∧}中的公式
    F_Am₄∨m₅∨m₆∨m₇p               （已为{┐,∧}中公式）
    F_Bm₂∨m₃┐p∧q          （已为{┐,∧}中公式）
    F_Cm₁┐p∧┐q∧r     （已为{┐,∧}中公式）

关于Discrete Mathematics更多讨论与交流，敬请关注本博客和新浪微博songzi_tea.