[经典面试题]字符串编辑距离

题目

给定一个源串和目标串，能够对源串进行如下操作：
1.在给定位置上插入一个字符
2.替换任意字符
3.删除任意字符
写一个程序，返回最小操作数，使得对源串进行这些操作后等于目标串，源串和目标串的长度都小于2000。

思路

如果有两个串 A = xabcdae 和 B = xfdfa，它们的第一个字符是相同的，只要计算A[2…7] = abcdae 和 B[2…5] = fdfa的距离就可以了。但是如果两个串的第一个字符不相同，那么可以进行如下的操作（lenA和lenB分别是字符串A和B的长度）：
（1）删除A串的第一个字符，然后计算A[2…lenA]和B[1…lenB]的距离。
（2）删除B串的第一个字符，然后计算A[1…lenA]和B[2…lenB]的距离。
（3）修改A串的第一个字符为B串的第一个字符，然后计算A[2…lenA]和B[2…lenB]的距离。
（4）修改B串的第一个字符为A串的第一个字符，然后计算A[2…lenA]和B[2…lenB]的距离。
（5）增加B串的第一个字符到A串的第一个字符之前，然后计算A[1…lenA]和B[2…lenB]的距离。
（6）增加A串的第一个字符到B串的第一个字符之前，然后计算A[2…lenA]和B[1…lenB]的距离。

在这个题目中，我们并不在乎两个字符串变得相等之后的字符串是什么样的。所以，我们可以将上面的6个步骤简化为：

（1）一步操作之后，再将A[2…lenA] 和 B[1…lenB]变成相同的字符串。
（2）一步操作之后，再将A[1…lenA] 和 B[2…lenB]变成相同的字符串。
（3）一步操作之后，再将A[2…lenA] 和 B[2…lenB]变成相同的字符串。

这样，很快就可以完成一个递归程序：

代码

  /*--------------------------------------------- * 日期：2015-02-16 * 作者：SJF0115 * 题目: 字符串编辑距离 * 来源： * 博客： -----------------------------------------------*/
    #include <iostream>
    using namespace std;

    class Solution {
    public:
        int StrDistance(string A,string B){
            int sizeA = A.size();
            int sizeB = B.size();
            return StrDistance(A,0,sizeA-1,B,0,sizeB-1);
        }
    private:
        int StrDistance(string A,int startA,int endA,string B,int startB,int endB){
            if(startA > endA){
               // 字符串A和B到末尾
               if(startB > endB){
                   return 0;
               }//if
               // 字符串A到末尾 B未到
               else{
                   return endB - startB + 1;
               }
            }//if
            // 字符串B到末尾 A未到
            if(startB > endB && startA <= endA){
                return endA - startA + 1;
            }//if
            // 字符串A和B均未到末尾
            if(A[startA] == B[startB]){
                return StrDistance(A,startA+1,endA,B,startB+1,endB);
            }//if
            else{
                int len1 = StrDistance(A,startA+1,endA,B,startB,endB);
                int len2 = StrDistance(A,startA,endA,B,startB+1,endB);
                int len3 = StrDistance(A,startA+1,endA,B,startB+1,endB);
                return min(min(len1,len2),len3)+1;
            }//else
        }
    };


    int main() {
        Solution solution;
        string str1("xabcdae");
        string str2("xfdfa");
        cout<<solution.StrDistance(str1,str2)<<endl;
    }

上面的思路还可以进行优化。在递归的过程中，有些数据被重复计算了。比如，如果我们开始调用StrDistance(A,1,3,B,1,3)
下图是部分展开的递归调用：

可以看到，圈中的两个子问题被重复计算了。为了避免这种不必要的重复计算，可以把子问题计算后的解储存起来。

思路二

编辑距离是动态规划里面的经典题目。 Edit[i][j]为word1[0..i-1]和word2[0..j-1]的最小编辑数。

状态转移方程：

代码二：

    /*-------------------------------------------- * 日期：2014-03-01 * 作者：SJF0115 * 题目: 72.Edit Distance * 网址：https://oj.leetcode.com/problems/edit-distance/ * 结果：AC * 来源：LeetCode * 博客： ------------------------------------------------*/
    #include <iostream>
    #include <vector>
    using namespace std;

        class Solution {
    public:
        int minDistance(string word1, string word2) {
            int m = word1.size();
            int n = word2.size();
            // Edit[i][j]为word1[0..i-1]和word2[0..j-1]的最小编辑数
            int Edit[m+1][n+1];
            // 初始化
            for(int i = 0;i <= m;++i){
                Edit[i][0] = i;
            }//for
            for(int i = 0;i <= n;++i){
                Edit[0][i] = i;
            }//for
            for(int i = 1;i <= m;++i){
                for(int j = 1;j <= n;++j){
                    // 当前字符相同
                    if(word1[i-1] == word2[j-1]){
                        Edit[i][j] = Edit[i-1][j-1];
                    }//if
                    else{
                        Edit[i][j] = 1 + min(Edit[i-1][j-1],min(Edit[i-1][j],Edit[i][j-1]));
                    }//else
                }//for
            }//for
            return Edit[m][n];
        }
    };

    int main(){
        Solution solution;
        string str1("ab");
        string str2("bc");
        cout<<solution.minDistance(str1,str2)<<endl;
        return 0;
    }