【组合数学】36军官问题

问题描述:

     据说普鲁士的腓特列大帝曾组成一支仪仗队,仪仗队共有36名军官,来自6支部队,每支部队中,上校、中校、少校、上尉、中尉、少尉各一名。他希望这36名军官排成6×6的方阵,方阵的每一行,每一列的6名军官来自不同的部队并且军衔各不相同。令他恼火的是,无论怎么绞尽脑汁也排不成。
后来,他去求教瑞士著名的大数学家欧拉。欧拉发现这是一个不可能完成的任务。
来自n个部队的n种军衔的n×n名军官,如果能排成一个正方形,每一行,每一列的n名军官来自不同的部队并且军衔各不相同,那么就称这个方阵叫正交拉丁方阵。欧拉猜测在
n=2,6,10,14,18,…
时,正交拉丁方阵不存在。然而到了上世纪60年代,人们用计算机造出了n=10的正交拉丁方阵,推翻了欧拉的猜测。现在已经知道,除了n=2,6以外,其余的正交拉丁方阵都存在,而且有多种构造的方法

数学模型的建立:

    为了解决上面的排列组合问题,我们可以建立数学模型,将上述问题转化为:能不能把36个有序对(i,j)(i=1,2,……6;j= 1,2,……6 )排列成一个6×6的矩阵,使得该矩阵的每一行每一列上整数 1,2,……6能够以某种顺序出现?(觉得和数独是不是有点类似,但是有附加条件)

模型的求解:

    我们可以将这样的矩阵分割为两个 6×6的矩阵,一个对应于有序对的第一个位置(军衔矩阵),另一个对应有序对的另一个位置(军团矩阵)。这样问题可以描述如下:
    1)这两个矩阵 的每一行每一列上整数 1,2,……6能够以某种顺序出现
    2)当并置这两个矩阵时,所有有序对(i,j) (i=1,2,……6;j= 1,2,……6 )全部出现

上面矩阵比较大,我们以来自3个军团3个级别军衔的9个军官为例,可以得到问题的解(可以笔算得到)如下:
【组合数学】36军官问题_第1张图片
从上图可以看出,军衔矩阵和军团矩阵都是3阶拉丁方阵,并且两者并置得到的并置矩阵得到了所有可能的9个有序对(i,j)。这种情况下,我们称军衔矩阵和军团矩阵是正交的,并置矩阵称为正交拉丁方阵。

    很明显,3阶正交拉丁方阵是存在的,对于36军官问题,也就是要求证6阶正交拉丁仿真是否存在。前面已经提到, 除了阶数n=2,6以外,其余的正交拉丁方阵都存在,而且有多种构造的方法

对于正交拉丁方阵的构造,由于比较复杂,有时间再研究,下面给出拉丁方阵的具体实现:
#include<iostream>
using namespace std;
void main()
{
 int n,i,j,count;
 int Num[20];//这里可以输入的阶数n的最大值是,可以自己修改
 cout<<"请输入方阵阶数:";
 cin>>n;
 for(i=0;i<n;i++)      //给数组赋初始值
 {
    Num[i]=i+1;
 }
 for (i = 0;i < n;i++)     //外循环输出n行
 {
  for (j = i,count=1;count<= n;count++)     //内循环输出一行的每个数字
  {
   cout<<Num[j%n]<<'\t';
    j++;
  }
  printf("\n");
 }
}

原文:http://blog.csdn.net/tengweitw/article/details/30265107

作者:nineheadedbird









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