【算法设计】背包问题2

研究生课程系列文章参见索引《在信科的那些课》

之前整理了屈奶奶讲的背包问题，感谢cyh24童鞋留言，传我一份武林秘籍《背包问题九讲》，实践了一下文档里对空间复杂度的改进。

0-1背包问题

通过之前的分析，Fk(y) 表示只允许装前k 种物品,背包总重不超过y 时背包的最大价值。得到0-1背包的递推公式和边界条件：

对空间的优化主要在Fk(y)，原本我们用两个循环实现：

for(int k=1;k<=N;k++){
	for(int y=1;y<=B;y++){
		if(y-w[k-1]<0){
			F[k][y]=F[k-1][y];
			tagi[k][y]=tagi[k-1][y]; 
		}
		else{
			//允许装入k件物品，价值的两种情况：
			//不装第k件物品或至少装1件第k件物品
			F[k][y]=F[k-1][y]>F[k][y-w[k-1]]+v[k-1] ? F[k-1][y]:(F[k][y-w[k-1]]+v[k-1]);
			tagi[k][y]=F[k-1][y]>F[k][y-w[k-1]]+v[k-1]?tagi[k-1][y]:k;
		}
	}
}

实际并一定不需要F[N][B]的空间，如果内层循环以B...0递推，即下面的形式：

for(int k=1;k<=N;k++){
	for(int y=B;y>0;y--){
		F[y]=max{F[y],F[y-w[i]]+v[i]};
	}	
}

因为是以B...0倒序递推，则F[y]此时就是F[k-1][y]的值,而F[y-w]还未改变，仍为F[k-1][y-w]的值。因此可以用一维数组存储原来的优化函数信息。代码如下：

void ZeroOnePack(int F[],int tagi[],int v, int w,int k){
	for(int i=B;i>0;i--){
		if(i-w>=0&&F[i]<=(F[i-w]+v)){
			F[i]=F[i-w]+v;
			tagi[i]=k;
		}
	}
}

完全背包问题

再看完全背包问题，即每个物品有无限件，不限每个物品装入的个数。得到递推关系和边界条件：

递归公式最主要的区别是Fk(y-wk)+vk，而非原来的Fk-1(y-wk)+vk，即物品可以在前k件中继续挑选。用一维数组时希望此时F[y]的数值即为F[k-1][y]的数值，而F[y-w]的数值为改变之后的F[k-1][y-w]的数值。因此我们可以用顺序0...B（而非逆序B...0）实现：

for(int k=1;k<=N;k++){
	for(int y=0;y>B;y++){
		F[y]=max{F[y],F[y-w[i]]+v[i]};
	}	
}

具体代码如下：

void CompletePack(int F[],int tagi[],int v, int w,int k){

	//F[i]=F[i]>(F[i-w]+v)?F[i]:(F[i-w]+v);
	//tagi=F[i]>(F[i-w]+v)?tagi:tagi+1;

	for(int i=1;i<=B;i++){
		if(i-w>=0&&F[i]<=(F[i-w]+v)){
			F[i]=F[i-w]+v;	
			tagi[i]=k;
		}
	}
}

测试用例

前面是0-1背包和完全背包的内层循环，还需要一个外层循环调用：

void Knapsack(int F[],int tagi[][B+1],int v[], int w[]){
	for(int i=0;i<B+1;i++){
		F[i]=tagi[0][i]=0;
	}
	for(int i=0;i<N+1;i++)
		tagi[i][0]=0;

	for(int i=0;i<N;i++){
		for(int j=0;j<B+1;j++)
			tagi[i+1][j]=tagi[i][j];
		//0-1背包
		ZeroOnePack(F,tagi[i+1],v[i],w[i],i+1);
		//完全背包
		//CompletePack(F,tagi[i+1],v[i],w[i],i+1);
	}
}

还有 之前文章的例子来测试，输出结果：

代码及文档下载： http://download.csdn.net/detail/xiaowei_cqu/4787977

参考资料：dd_engi等 《背包问题九讲》

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