Best Time to Buy and Sell Stock III 最佳时间买入卖出股票（最多两次买卖）@LeetCode

题目：

最佳时间买入卖出股票：你有一个数组保存了股票在第i天的价钱，现在你最多进行两次买卖，但同一时间你手上只能保持一个股票，如何赚的最多

思路：

知道要用DP做，但是一开始思路是错的。后来参考了 http://blog.csdn.net/pickless/article/details/12034365

才意识到可以在整个区间的每一点切开，然后分别计算左子区间和右子区间的最大值，然后再用O(n)时间找到整个区间的最大值。

看来以后碰到与2相关的问题，一定要想想能不能用二分法来做！

下面复制pickless的讲解，我觉得我不能比他讲的更好了

O(n^2)的算法很容易想到：

找寻一个点j，将原来的price[0..n-1]分割为price[0..j]和price[j..n-1]，分别求两段的最大profit。

进行优化：

对于点j+1，求price[0..j+1]的最大profit时，很多工作是重复的，在求price[0..j]的最大profit中已经做过了。

类似于Best Time to Buy and Sell Stock，可以在O(1)的时间从price[0..j]推出price[0..j+1]的最大profit。

但是如何从price[j..n-1]推出price[j+1..n-1]？反过来思考，我们可以用O(1)的时间由price[j+1..n-1]推出price[j..n-1]。

最终算法：

数组l[i]记录了price[0..i]的最大profit，

数组r[i]记录了price[i..n]的最大profit。

已知l[i]，求l[i+1]是简单的，同样已知r[i]，求r[i-1]也很容易。

最后，我们再用O(n)的时间找出最大的l[i]+r[i]，即为题目所求。

package Level4;

import java.util.Arrays;

/**
 * Best Time to Buy and Sell Stock III
 * 
 *  Say you have an array for which the ith element is the price of a given stock on day i.

Design an algorithm to find the maximum profit. You may complete at most two transactions.

Note:
You may not engage in multiple transactions at the same time (ie, you must sell the stock before you buy again).

http://blog.csdn.net/pickless/article/details/12034365
 *
 */
public class S123 {

	public static void main(String[] args) {
//		int[] prices = {3,3,5,0,0,3,1,4};
		int[] prices = {2,1,2,0,1};
		System.out.println(maxProfit(prices));
	}
	
	// 基本思想是分成两个时间段，然后对于某一天，计算之前的最大值和之后的最大值
	public static int maxProfit(int[] prices) {
		if(prices.length == 0){
			return 0;
		}
		
		int max = 0;
		// dp数组保存左边和右边的利润最大值
		int[] left = new int[prices.length];		// 计算[0,i]区间的最大值
		int[] right = new int[prices.length];	// 计算[i,len-1]区间的最大值
		
		process(prices, left, right);
		
		// O(n)找到最大值
		for(int i=0; i<prices.length; i++){
			max = Math.max(max, left[i]+right[i]);
		}
		
		return max;
    }
	
	public static void process(int[] prices, int[] left, int[] right){
		left[0] = 0;
		int min = prices[0];		// 最低买入价
		
		// 左边递推公式
		for(int i=1; i<left.length; i++){
			left[i] = Math.max(left[i-1], prices[i]-min);	// i的最大利润为（i-1的利润）和（当前卖出价和之前买入价之差）的较大那个
			min = Math.min(min, prices[i]);		// 更新最小买入价
		}
		
		right[right.length-1] = 0;
		int max = prices[right.length-1];		// 最高卖出价
		// 右边递推公式
		for(int i=right.length-2; i>=0; i--){
            right[i] = Math.max(right[i+1], max-prices[i]);	// i的最大利润为（i+1的利润）和（最高卖出价和当前买入价之差）的较大那个
            max = Math.max(max, prices[i]);		// 更新最高卖出价
		}
		
//		System.out.println(Arrays.toString(left));
//		System.out.println(Arrays.toString(right));
	}

}

下面的解法主要是能把两次的限制推广到k次交易：

这道题是Best Time to Buy and Sell Stock的扩展，现在我们最多可以进行两次交易。我们仍然使用动态规划来完成，事实上可以解决非常通用的情况，也就是最多进行k次交易的情况。
这里我们先解释最多可以进行k次交易的算法，然后最多进行两次我们只需要把k取成2即可。我们还是使用“局部最优和全局最优解法”。我们维护两种量，一个是当前到达第i天可以最多进行j次交易，最好的利润是多少（global[i][j]），另一个是当前到达第i天，最多可进行j次交易，并且最后一次交易在当天卖出的最好的利润是多少（local[i][j]）。下面我们来看递推式，全局的比较简单，

global[i][j]=max(local[i][j],global[i-1][j])，

也就是去当前局部最好的，和过往全局最好的中大的那个（因为最后一次交易如果包含当前天一定在局部最好的里面，否则一定在过往全局最优的里面）。

全局（到达第i天进行j次交易的最大收益） = max{局部（在第i天交易后，恰好满足j次交易），全局（到达第i-1天时已经满足j次交易）}

对于局部变量的维护，递推式是

local[i][j]=max(global[i-1][j-1]+max(diff,0),local[i-1][j]+diff)，

也就是看两个量，第一个是全局到i-1天进行j-1次交易，然后加上今天的交易，如果今天是赚钱的话（也就是前面只要j-1次交易，最后一次交易取当前天），第二个量则是取local第i-1天j次交易，然后加上今天的差值（这里因为local[i-1][j]比如包含第i-1天卖出的交易，所以现在变成第i天卖出，并不会增加交易次数，而且这里无论diff是不是大于0都一定要加上，因为否则就不满足local[i][j]必须在最后一天卖出的条件了）。

局部（在第i天交易后，总共交易了j次） =  max{情况2，情况1}

情况1：在第i-1天时，恰好已经交易了j次（local[i-1][j]），那么如果i-1天到i天再交易一次：即在第i-1天买入，第i天卖出（diff），则这不并不会增加交易次数！【例如我在第一天买入，第二天卖出；然后第二天又买入，第三天再卖出的行为  和   第一天买入，第三天卖出  的效果是一样的，其实只进行了一次交易！因为有连续性】

情况2：第i-1天后，共交易了j-1次（global[i-1][j-1]），因此为了满足“第i天过后共进行了j次交易，且第i天必须进行交易”的条件：我们可以选择1：在第i-1天买入，然后再第i天卖出（diff），或者选择在第i天买入，然后同样在第i天卖出（收益为0）。

上面的算法中对于天数需要一次扫描，而每次要对交易次数进行递推式求解，所以时间复杂度是O(n*k)，如果是最多进行两次交易，那么复杂度还是O(n)。空间上只需要维护当天数据皆可以，所以是O(k)，当k=2，则是O(1)。

http://blog.csdn.net/linhuanmars/article/details/23236995

public class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        return max(prices, 2);
    }
    
    public int max(int[] prices, int k) {       // k: k times transactions
        int len = prices.length;
        if(len == 0) {
            return 0;
        }
        int[][] local = new int[len][k+1];      // local[i][j]: max profit till i day, j transactions, where there is transaction happening on i day
        int[][] global = new int[len][k+1];     // global[i][j]: max profit across i days, j transactions
        for(int i=1; i<len; i++) {
            int diff = prices[i] - prices[i-1];
            for(int j=1; j<=k; j++) {
                local[i][j] = Math.max(global[i-1][j-1]+Math.max(diff,0), local[i-1][j]+diff);
                global[i][j] = Math.max(global[i-1][j], local[i][j]);
            }
        }
        return global[len-1][k];
    }
}