背包问题扩展

http://acmpj.zstu.edu.cn/JudgeOnline/showproblem?problem_id=2574   砝码称重

Description
设有1g 2g 3g 5g 10g 20g的砝码各若干枚（其总重<=1000），输出用这些砝码能称出的不同重量的个数，但不包括一个砝码也不用的情况。
Input
有多个测试数据
每个测试数据一行，由6个整数组成，分别是1g 2g 3g 5g 10g 20g砝码的数量
最后一行是0 0 0 0 0 0，不需要处理
Output
每组测试数据输出一行，输出总共可以称出的重量的数目。
Sample Input
1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0
Sample Output
41
Source
NOIP T96-4

问题分析：
把问题稍做一个改动，已知a1+a2+a3+a4+a5+a6个砝码的重量w[i]，w[i]∈{1,2,3,5,10,20} 其中砝码重量可以相等，求用这些砝码可称出的不同重量的个数。
 这样一改就是经典的0/1背包问题的简化版了，求解方法完全和上面说的一样，这里就不多说了，只是要注意这个题目不是求最大载重量，是统计所有的可称出的重量的个数。
参考代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#include<memory.h>

#define MAXN 1010
int w[6]={1,2,3,5,10,20},a[6];
int dp[MAXN];

int main(void)
{
	int i,j,k,sum,ans;
	while(1)
	{
		sum=0;
		for(i=0;i<6;i++)
		{
			scanf("%d",&a[i]);
			sum+=w[i]*a[i];
		}
		if(!sum)
			break;

		//背包问题的核心代码
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		dp[0]=1;
		for(i=0;i<6;i++)
		{
			for(k=a[i];k>0;k--)
			{
				for(j=sum;j>=w[i];j--)
				{
					if(dp[j-w[i]])
						dp[j]=1;
				}
			}
		}

		ans=0;
		for(i=1;i<=sum;i++)
		{
			if(dp[i])
				ans++;
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}

方法二：

f[i][j] 表示用1~i种砝码能否表示j这种面值，能为1，不能为0。

if(f[i-1][j]==1) f[i][j]=1;

for(k=1;k<=na[i];k++)

      if(j-k*ma[i]==0||j-k*ma[i]>0 && f[i-1][j-k*ma[i]]==1)

         {    f[i][j]=1;

              break;

        }

以上这是状态转移方程的代码。

然后，for(j=1;j<=max;j++)

               if(f[6][j]==1)

                   sum++;

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#include<memory.h>

#define MAXN 1010
int w[7]={0,1,2,3,5,10,20},a[6];
int dp[7][MAXN];

int main(void)
{
	int i,j,k,sum,ans;
	while(1)
	{
		sum=0;
		for(i=1;i<=6;i++)
		{
			scanf("%d",&a[i]);
			sum+=w[i]*a[i];
		}
		if(!sum)
			break;

		//背包问题的核心代码
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		for(i=1;i<=6;i++)
		{
			for(j=1;j<=sum;j++)
			{
				if(dp[i-1][j] == 1)
					dp[i][j] = 1;
				else
				{
					for(k=1;k<=a[i];k++)
					{
						if(j-k*w[i] == 0 || (j-k*w[i] > 0 && dp[i-1][j-k*w[i]] == 1) )
						{
							dp[i][j]=1;
							break;
						}
					}
				}
			}
		}

		ans=0;
		for(i=1;i<=sum;i++)
		{
			if(dp[6][i])
				ans++;
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}

另外一种写法：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#include<memory.h>

#define MAXN 1010
int w[7]={0,1,2,3,5,10,20},a[6];
int dp[7][MAXN];

int main(void)
{
	int i,j,k,sum,ans;
	while(1)
	{
		sum=0;
		for(i=1;i<=6;i++)
		{
			scanf("%d",&a[i]);
			sum+=w[i]*a[i];
		}
		if(!sum)
			break;

		//背包问题的核心代码
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		for(j=1;j<=a[1];j++)   //DP问题的初始化
			dp[1][j*w[1]]=1;

		for(i=2;i<=6;i++)
		{
			for(j=1;j<=sum;j++)
			{
				for(k=0;k<=a[i];k++)   //多重背包比0-1背包多的循环：对砝码个数的控制 
				{
					if(j-k*w[i] > 0 )
					{
						if(dp[i-1][j-k*w[i]] == 1)
							dp[i][j]=1;
					}
					else if(j-k*w[i] == 0)
						dp[i][j]=1;
				}
			}
		}

		ans=0;
		for(i=1;i<=sum;i++)
		{
			if(dp[6][i])
				ans++;
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}

状态转移方程 ：if(f[i-1][j-i1*b[i]])  f[i][j]=1;   (0<=i1<=a[i],j-i1*b[i]>0)
                            if(j-i1*b[i]]==0)              f[i][j]=1;   
 该题用动态规划解决的是统计问题。f[i][j]的值有两种，1和0，1代表用前i个砝码可以表示j这个重量，
 状态转移思想：看前i-1个砝码是否可以 表示j这个重量，或者是否可以表示j-i1*b[i]这个重量 。i1代表砝码i的个数，b[i]代表i的重量。如果j-i1*b[i]==0，说明只用i砝码就可以称出j的重量，也将f[i][j]变为1。

二、某种顺序下的01背包扩展题

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3466   Proud Merchants

因为剩余金额会对状态产生影响，所以应该先处理q-p较小的。这是一道01背包的变形题，题目增加了一个限制条件，即当你所拥有的钱数大于某个限定值时才可以购买该物品。
按照q - p以由小到大的顺序排序，然后进行01背包的DP即可。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int MAX = 5001;
int f[MAX];
int V;    //背包的体积

struct Node
{
	int p,q,v;
}node[501];
void ZeroOnePack (int cost, int q,int weight)
{
    int v;
    for (v = V; v >= q; v--)
        f[v] = f[v] > (f[v - cost] + weight) ? f[v] : (f[v - cost] + weight);
}

bool cmp(const Node &a,const Node &b)
{
	return (a.q-a.p) < (b.q-b.p);
}

inline bool scan_d(int &num)  //  这个就是 加速的 关键了 
{
	char in;bool IsN=false;
	in=getchar();
	if(in==EOF)
		return false;
	while(in!='-'&&(in<'0'||in>'9')) in=getchar();
	if(in=='-')   { IsN=true;num=0;}
	else num=in-'0';
	while(in=getchar(),in>='0'&&in<='9')
	{
		num*=10,num+=in-'0';
	}
	if(IsN)
		num=-num;
	return true;
}

int main(void)
{
	int i,n,m;
	while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF)
	{
		V = m;
		for(i = 0 ; i <= V ; ++i)      //没有要求把背包装满
		{
			f[i]=0;
		}
		for(i = 1 ; i <= n ; ++i)
		{
			scan_d(node[i].p);
			scan_d(node[i].q);
			scan_d(node[i].v);
		}
		sort(node+1,node+n+1,cmp);
		for(i = 1 ; i <= n ; ++i)
			ZeroOnePack(node[i].p, node[i].q , node[i].v);
		for(i = V ; i >= 0 ; --i)
		{
			if( f[i] )
			{
				printf("%d\n",f[i]);
				break;
			}
		}
	}
	return 0;
}