四边形不等式优化
因为在动态规划中，有这样的一类问题
状态转移方程 dp[i][j]=min{dp[i][k-1]+dp[k][j]}+w[i][j] k>i&&k<=j 时间复杂度为 O(n*n*n)
且有如下一些定义和定理：
如果一个函数w[i][j]，满足 w[i][j]+w[i'][j']<=w[i][j']+w[i'][j] i<=i'<=j<=j' 则称w满足凸四边形不等式
如果一个函数w[i][j]，满足 w[i'][j]<=w[i][j'] i<=i'<=j<=j' 则称w关于区间包含关系单调
定理1：如果w同时满足四边形不等式和区间单调关系，则dp也满足四边形不等式
定理2：如果定理1条件满足时让dp[i][j]取最小值的k为K[i][j]，则K[i][j-1]<=K[i][j]<=K[i+1][j]
注：定理2是四边形不等式优化的关键所在，它说明了决策具有单调性，然后我们可以据此来缩小决策枚举的区间，进行优化
定理3：w为凸当且仅当 w[i][j]+w[i+1][j+1]<=w[i+1][j]+w[i][j+1]
几点说明：
1：定理1的证明比较烦躁，详细的可以见《动态规划算法的优化技巧》毛子青 大神的论文
2：定理3其实告诉我们验证w是否为凸的方法，就是固定一个变量，然后看成是一个一元函数，进而判断单调性。
如，我们可以固定j算出w[i][j+1]-w[i][j]关于i的表达式，看它是关于i递增还是递减，如果是递减，则w为凸
3：实际操作中，我们往往并不需要进行烦躁的证明，而只需要打表，然后观察就行了
如w[i][j],dp[i][j]是否满足四边形不等式啊，w[i][j]是否单调啊，决策函数K[i][j]是否满足定理2的不等式关系啊，都可以通过打表来搞
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最有代价用d[i,j]表示
d[i,j]=min{d[i,k-1]+d[k+1,j]}+w[i,j]
其中w[i,j]=sum[i,j]
四边形不等式
w[a,c]+w[b,d]<=w[b,c]+w[a,d](a<b<c<d) 就称其满足凸四边形不等式
决策单调性
w[i,j]<=w[i',j'] ([i,j]属于[i',j']) 既 i'<=i<j<=j'
于是有以下三个定理
定理一： 如果w同时满足四边形不等式 和 决策单调性 ,则d也满足四边形不等式
定理二：当定理一的条件满足时，让d[i,j]取最小值的k为K[i,j]，则K[i,j-1]<=K[i,j]<=K[i+1,j]
定理三：w为凸当且仅当w[i,j]+w[i+1,j+1]<=w[i+1,j]+w[i,j+1]
由定理三知 判断w是否为凸即判断 w[i,j+1]-w[i,j]的值随着i的增加是否递减
于是求K值的时候K[i,j]只和K[i+1,j] 和 K[i,j-1]有关，所以 可以以i-j递增为顺序递推各个状态值最终求得结果 将O(n^3)转为O(n^2)