求字符串编辑距离

这道题，我在阿里巴巴面试的时候碰到了，google的笔试题。。。

设A和B是2个字符串。要用最少的字符操作将字符串A转换为字符串B。这里所说的字符操作包括:

(1)删除一个字符;
(2)插入一个字符；
(3)将一个字符改为另一个字符。
将字符串A变换为字符串B所用的最少字符操作数称为字符串A到B的编辑距离,记为d(A,B)。试设计一个有效算法,对任给的2个字符串A和B,计算出它们的编辑距离d(A,B)。

方法1：编程之美的递归方法

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;

int Min(int a,int b,int c)
{
	int t = a<b?a:b;
	return t<c?t:c;
}

int CalDistance(const string &strA,int pAbegin,int pAend,
				const string &strB,int pBbegin,int pBend)
{
	if(pAbegin>pAend){
		if(pBbegin>pBend)return 0;
		else return pBend-pBbegin+1;
	}
	if(pBbegin>pBend){
		if(pAbegin>pAend)return 0;
		else return pAend-pAbegin+1;
	}
	if(strA[pAbegin] == strB[pBbegin]){
		return CalDistance(strA,pAbegin+1,pAend,strB,pBbegin+1,pBend);
	}
	else{
		int disa = CalDistance(strA,pAbegin+1,pAend,strB,pBbegin+1,pBend) + 1;//替换
		int disb = CalDistance(strA,pAbegin,pAend,strB,pBbegin+1,pBend) + 1;//a插入
		int disc = CalDistance(strA,pAbegin+1,pAend,strB,pBbegin,pBend) + 1;//b插入
		return Min(disa,disb,disc);
	}
}
int main()
{
	string strA = "lsjd";
	string strB = "ls";
	cout<<CalDistance(strA,0,strA.size()-1,strB,0,strB.size()-1)<<endl;
	system("pause");
	return 0;
}

上面这种方法有个缺点：递归树上有重复计算的节点。我们可以通过备忘录的方法来记录一些值，从而降低重复计算。

方法2：动态规划解法

  总结个经验：像这种从后面由前面推（自顶向下）都可以转换为动态规划算法（自底向上）。包括本博客上：斐波拉契序列，完全背包问题，捞鱼问题。

    我们可以得出这样一段动态规划公式：（下面的内容引自：http://qinxuye.me/article/get-edit-distance-by-dynamic-programming/；http://blog.chinaunix.net/uid-20761674-id-75042.html）

  （1）如果i == 0 且 j == 0，edit(i, j)=0

  （2）如果i == 0 且 j > 0，edit(i, j)=j

  （3）如果i > 0 且j == 0，edit(i, j)=i（2、3点之前已经陈述）

  （4）如果0 < i≤1  且 0 < j ≤ 1 ，edit(i, j) == min{ edit(i-1, j) + 1, edit(i, j-1) + 1, edit(i-1,j-1)+ f(i, j) }，这里当字符串1的第i个字符不等于字符串2的第j个字符时，f(i, j) = 1；否则，f(i, j) = 0。

  （5）如果i > 1且 j > 1时，这个时候可能出现操作（4），由之前的推导，我们只能交换一次，否则就没有意义。这个时候在比较最小值中可能加入edit(i-2, j-2) +1，什么时候加入呢？假设i-2长度的字符串1子串和j-2长度的字符串2子串已经得出最优解，这个时候如果s1[i-1] == s2[j] 并且s1[i] == s2[j-1]，这时就在比较值中加入edit(i-2, j-2) + 1（这个1是交换一次的操作）

     即最后的递推公式：首先给定第一行和第一列，然后，每个值d[i,j]这样计算：d[i][j]   =   min(d[i-1][j]+1,d[i][j-1]+1,d[i-1][j-1]+(s1[i] ==  s2[j]?0:1));   

 代码：

#include <stdio.h>   
#include <string.h>   
char s1[1000],s2[1000];   
int min(int a,int b,int c) {   
    int t = a < b ? a : b;   
    return t < c ? t : c;   
}   
void editDistance(int len1,int len2) {   
    int d[len1+1][len2+1];   //这里其实要动态分配
    int i,j;   
    for(i = 0;i <= len1;i++)   
        d[i][0] = i;   //i从第1个开始，表示第1个字母，所以第0个没算
    for(j = 0;j <= len2;j++)   
        d[0][j] = j;   
    for(i = 1;i <= len1;i++)   
        for(j = 1;j <= len2;j++) {   
            int cost = s1[i] == s2[j] ? 0 : 1;   
            int deletion = d[i-1][j] + 1;   
            int insertion = d[i][j-1] + 1;   
            int substitution = d[i-1][j-1] + cost;   
            d[i][j] = min(deletion,insertion,substitution);   
        }   
    printf("%d\n",d[len1][len2]);   
}