[程序员面试题精选100题]5.查找最小的k个元素

【题目】

输入n个整数，输出其中最小的k个。

例如输入1，2，3，4，5，6，7和8这8个数字，则最小的4个数字为1，2，3和4。

【分析】

这道题最简单的思路莫过于把输入的n个整数排序，这样排在最前面的k个数就是最小的k个数。只是这种思路的时间复杂度为O(nlogn)。我们试着寻找更快的解决思路。

我们可以先创建一个大小为k的数据容器来存储最小的k个数字。接下来我们每次从输入的n个整数中读入一个数。如果容器中已有的数字少于k个，则直接把这次读入的整数放入容器之中；如果容器中已有k个数字了，也就是容器已满，此时我们不能再插入新的数字而只能替换已有的数字。我们找出这已有的k个数中最大值，然和拿这次待插入的整数和这个最大值进行比较。如果待插入的值比当前已有的最大值小，则用这个数替换替换当前已有的最大值；如果带插入的值比当前已有的最大值还要大，那么这个数不可能是最小的k个整数之一，因为我们容器内已经有k个数字比它小了，于是我们可以抛弃这个整数。

因此当容器满了之后，我们要做三件事情：一是在k个整数中找到最大数，二是有可能在这个容器中删除最大数，三是可能要插入一个新的数字，并保证k个整数依然是排序的。如果我们用一个二叉树来实现这个数据容器，那么我们能在O(logk)时间内实现这三步操作。因此对于n个输入数字而言，总的时间效率就是O(nlogk)。

我们可以选择用不同的二叉树来实现这个数据容器。由于我们每次都需要找到k个整数中的最大数字，我们很容易想到用最大堆。在最大堆中，根结点的值总是大于它的子树中任意结点的值。于是我们每次可以在O(1)得到已有的k个数字中的最大值，但需要O(logk)时间完成删除以及插入操作。

我们自己可以实现一个最大堆。

我们还可以采用红黑树来实现我们的容器。红黑树通过把结点分为红、黑两种颜色并根据一些规则确保树是平衡的，从而保证在红黑树中查找、删除和插入操作都只需要O(logk)。在STL中set和multiset都是基于红黑树实现的。如果面试官不反对我们用STL中的数据容器。

【代码】

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*   日期：2013-12-18
*   作者：SJF0115
*   题目: 5.查找最小的k个元素
*   来源：
*   分类：程序员面试题精选100题
**********************************/
#include <iostream>
using namespace std;

//调整以index为根的子树
//n：堆中元素个数
void MaxHeap(int a[],int index,int n){
    if(n < 2){
        return;
    }
    int largestIndex = index;
    // 左子节点下标
    int leftIndex = 2 * index;
    // 右子节点下标
    int rightIndex = 2 * index + 1;
    // 左子节点最大
    if(leftIndex <= n && a[leftIndex] > a[largestIndex]){
        largestIndex = leftIndex;
    }//if
    // 右子节点最大
    if(rightIndex <= n && a[rightIndex] > a[largestIndex]){
        largestIndex = rightIndex;
    }//if
    //如果a[index]是最大的，则以index为根的子树已是最大堆否则index的子节点有最大元素
    //则交换a[index],a[LargetIndex],从而使index及子女满足堆性质
    int temp;
    if(largestIndex != index){
        // 交换
        temp = a[largestIndex];
        a[largestIndex] = a[index];
        a[index] = temp;
        //重新调整以LargestIndex为根的子树
        MaxHeap(a,largestIndex,n);
    }//if
}

//建堆：将一个数组a[1-n]变成一个最大堆
void BuildMaxHeap(int a[],int n){
    //子数组a[(n/2+1,n/2+2......n)]中的元素都是树中的叶子不用调整
    for(int i = n/2;i >= 1;i--){
        // 调整以i为根节点的树使之成为最大堆
        MaxHeap(a,i,n);
    }
}
//堆排序
void HeapSort(int*& a,int n){
    int tmp;
    //数组中最大元素在根a[1]，则可以通过它与a[i]交换来达到最终的正确位置
    for(int i = n;i > 1;i--){
        // 交换
        tmp = a[i];
        a[i] = a[1];
        a[1] = tmp;
        //a[i]已达到正确位置，从堆中去掉
        n--;
        //重新调整
        MaxHeap(a,1,n);
    }
}

// 最小K个数
void MinK(int a[],int k,int n){
    for(int i = k+1;i <= n;i++){
        //如果X比堆顶元素Y大，则不需要改变原来的堆
        //如果X比堆顶元素Y小，那么用X替换堆顶元素Y，
        //在替换之后，X可能破坏了最大堆的结构，需要调整堆来维持堆的性质
        int temp;
        if(a[i] < a[1]){
            temp = a[i];
            a[i] = a[1];
            a[1] = temp;
            // 重新调整最大堆
            MaxHeap(a,1,k);
        }
    }
    // 堆排序
    HeapSort(a,k);
    // 输出
    for(int i = 1;i <= k;i++){
        cout<<a[i]<<endl;
    }
}

int main(){
    int k = 5;
    //a[0]不用，堆的根结点是从1开始的
    int a[] = {0,3,17,8,27,7,20,5,35,6};
    //BulidMaxHeap将输入数组构造一个最大堆
    BuildMaxHeap(a,k);
    // 最小k个元素
    MinK(a,k,9);
    return 0;
}

参考：   堆排序

编程之美之寻找最大的K个数