线性代数导论10——四个基本子空间
本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记。课程地址： http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html
第十课时：四个基本子空间
Am×n，列空间C(A)，零空间N(A)，行空间C(A
T)，A转置的零空间（通常叫左零空间），线性代数的核心内容，研究这四个基本子空间及其关系
零空间N(A)
n维向量，是Ax=0的解，所以N(A)在R
n里。
列空间C(A)
列向量是m维的，所以C(A)在R
m里。
行空间C(AT)
A的行的所有线性组合，即A转置的列的线性组合（因为我们不习惯处理行向量），C(A
T)在R
n里。
A转置的零空间N(AT)—A的左零空间
N(A
T)在R
m里。
可以画出四个子空间如下，
行空间和零空间在Rn里，他们的维数加起来等于n，列空间和左零空间在Rm里，他们的维数加起来等于m。
如何分别构造他们的一组基basis？维数是多少dimension？
维数问题：
列空间：A的主列就是列空间的一组基，dim(C(A))=Rank(A)=r，维数就是秩的大小
行空间：有一个重要的性质：行空间和列空间维数相同，都等于秩的大小
零空间：一组基就是一组特殊解，r是主变量的个数，n-r是自由变量的个数，零空间的维数等于n-r
左零空间：维数为m-r。
n维空间中存在两个子空间，一个r维的行空间，一个n-r维的零空间，维数和为n。和另一个结论相似：r个主变量，n-r个是自由变量，加起来是n。
m维空间中存在两个子空间，一个r维的列空间，一个m-r维的左零空间，维数和为m。
基的问题：
列空间：主列组合就是一组基
零空间：一组特殊解就是一组基
行空间：通过初等行变换变换成行最简式，行空间的一组基即是行最简形R的前r(秩数)行。（
行变换不会对行空间产生影响，但会对列空间产生影响。）
如上图，A通过初等行变换得到R，前两行就是行空间的一组基，为什么说它们一定在矩阵的行空间里？因为行变换的时候是某行和令一行相加或相减，即是这些行向量的的线性组合。
左零空间（A转置的零空间）：为什么叫左零空间？
A
Ty=0，将等式左右两边都转置，得：y
TA=0
T，如下，所以叫左零空间。
但我们一般还是习惯用A
Ty=0，因为希望y是列向量。
求矩阵的左零空间，就试着寻找一个产生零行向量的行组合，求矩阵的零空间，就试着寻找一个产生零列向量的列组合。
如上，求A得左零空间，通过行变换得到R，R的最后一行是0向量，行变换的逆变换E的最后一行即是A的各行的组合产生0向量的向量。即，左零空间的一组基为[-1,0,1]
下一节课预告：新的向量空间，所有的3*3矩阵，把矩阵看着“向量”，每个3*3的矩阵都是一个“向量“，叫他们为向量，因为他们服从向量加法，乘法，又能够对矩阵进行线性组合...。向量空间，关心的是A+B和cA。子空间比如上三角矩阵，对称矩阵，子空间的交集也是子空间。关注他们的维数，基。3*3的对角矩阵的维数为3，一组基为
认为
这三个矩阵相互线性无关，而且任何的对角矩阵可通过这三个组合得到，因此他们生成了对角矩阵空间。我们把Rn的概念延伸至Rn*n，他们仍对加法和乘法封闭。