【数值分析】误差的分析与减少及Matlab解线性方程的四种方法

1、误差的来源

•      模型误差：数学模型与实际问题之间的误差
•      观测误差：测量数据与实际数据的误差
•      方法误差：数学模型的精确解与数值方法得到的数值解之间的误差：例如
•      舍入误差：对数据进行四舍五入后产生的误差

2、减少误差的几种方法

         现在，我们一般用计算机解决计算问题，使用最多的是Matlab软件。对实际问题进行数学建模时，可能存在模型误差，对数学模型进行数值求解时，我们使用的方法可能产生方法误差，我们输入计算机的数据一般是有测量误差的，计算机在运算过程的每一步又会产生舍入误差（十进制转化为二进制时可能产生舍入误差）。由此看来，解决一个问题，基本上会有以上四种四种误差。记得高中物理老师说过，错误是可以避免的，误差是不可避免的，我们只可以减少误差。下面我们就来介绍减少误差的几种方法：

• 避免两个相近的数相减

                    eg:当x=10003时，计算 的近似值。

                    如果使用6位十进制浮点运算，运算时取6位有效数字，结果如下：

                 

            结果只有一位有效数字，与之前相比，损失了5位有效数字。

                    如果使用下面的方法：

                 

            则结果有6位有效数字，与精确值0.00499912523117984……较为接近。

•  防止重要的小数被大数吃掉

            eg: 已知 ,求

            如果按照 的顺序来求的话，由于x远大于y，在计算机中可能导致x+y=x的情况，因此我们可以按照 的顺序计算得到正确的结果。

• 避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值

            eg:用消去法解线性方程组

            

                

           这个方程组的正确解为：

             

          当我们用(1)/0.00003-(2)时，可以得到下面的化简和计算结果：

             

            显然上述结果严重失真，产生了很大的误差。这就是由于除数的绝对值远小于被除数的绝对值造成的。

           为了避免上述情况，我们可以用第二个方程消去第一个方程中的x1，即(2)*0.00003-(1)，得到如下表达式和结果：

           

            将结果与正确解相比发现，这是一组相当好的近似解。                    

•  注意算法的稳定性

            所谓算法的稳定性是指，一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中误差不增长，那么称此算法是数值稳定的。

   

  

        上面的部分基本上都来源于《数值分析》一书，讲的挺好的，这些减小误差的方法，我们平时需要多注意，在用c进行编程实现时需要注意，而用Matlab实现时，上面的问题都不是问题了，不过我们要学习的是这种方法和技巧。 下面讲讲，在实现上述方法的Matlab的知识：1、精度控制；2、解线性方程组。

一、精度控制

     format  digits  vpa函数的使用

     format只用来控制显示精度的，并不控制计算精度，digits用来控制计算精度，vpa也是控制计算精度。

     digits必须与vpa配合使用，单独不起作用。

     vpa可单独控制计算精度

     

     具体操作如下图：

            1、format的操作

                

            2、digits的操作

               

            3、vpa的操作

               

     二、 解非齐次线性方程组

           

             可以通过以下四种方法求解该方程组：

              用矩阵表示上述的线性方程组如下：

• 求逆矩阵法

            

• 矩阵左除法

                   

• 初等行变换

                     

• 卡莱姆法则

                       

具体的程序实现如下：

clear all
clc
 
A=[ 6 2 3 4 5
    2 -3 7 10 13
    3 5 11 -16 21
    2 -7 7 7 2
    7 3 -5 3 10]
b=[80 59 90 22 85]'
 
x1=inv(A)*b%逆矩阵法
x2=A\b%矩阵左除法
x3=rref([A b])%初等行变换
 
%克拉姆法则
for i=1:length(A)
    B=A;
    B(:,i)=b;
    x(i)=det(B)/det(A);
end
x'

运行结果如下图：

注意事项：当系数矩阵A不是方阵，或A的行列式为0时，逆矩阵法和克拉姆法则无法使用，而初等行变换能适用于各种线性方程组的求解。

原文：http://blog.csdn.net/tengweitw/article/details/42925669

作者：nineheadedbird