今天浏览了2009软考试题,其中有一个设计题关于Floyd-Warshall算法的问题,本身对该算法不熟悉,了解下
转自:http://www.cppblog.com/mythit/archive/2009/04/21/80579.html
Floyd-Warshall算法,简称Floyd算法,用于求解任意两点间的最短距离,时间复杂度为O(n^3)。我们平时所见的Floyd算法的一般形式如下:
1
void
Floyd(){
2
int
i,j,k;
3
for
(k
=
1
;k
<=
n;k
++
)
4
for
(i
=
1
;i
<=
n;i
++
)
5
for
(j
=
1
;j
<=
n;j
++
)
6
if
(dist[i][k]
+
dist[k][j]
<
dist[i][j])
7
dist[i][j]
=
dist[i][k]
+
dist[k][j];
8
}
注意下第6行这个地方,如果dist[i][k]或者dist[k][j]不存在,程序中用一个很大的数代替。最好写成if(dist[i][k]!=INF && dist[k][j]!=INF && dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j]),从而防止溢出所造成的错误。
上面这个形式的算法其实是Floyd算法的精简版,而真正的Floyd算法是一种基于DP(Dynamic Programming)的最短路径算法。
设图G中n 个顶点的编号为1到n。令c [i, j, k]表示从i 到j 的最短路径的长度,其中k 表示该路径中的最大顶点,也就是说c[i,j,k]这条最短路径所通过的中间顶点最大不超过k。因此,如果G中包含边<i, j>,则c[i, j, 0] =边<i, j> 的长度;若i= j ,则c[i,j,0]=0;如果G中不包含边<i, j>,则c (i, j, 0)= +∞。c[i, j, n] 则是从i 到j 的最短路径的长度。
对于任意的k>0,通过分析可以得到:中间顶点不超过k 的i 到j 的最短路径有两种可能:该路径含或不含中间顶点k。若不含,则该路径长度应为c[i, j, k-1],否则长度为 c[i, k, k-1] +c [k, j, k-1]。c[i, j, k]可取两者中的最小值。
状态转移方程:c[i, j, k]=min{c[i, j, k-1], c [i, k, k-1]+c [k, j, k-1]},k>0。
这样,问题便具有了最优子结构性质,可以用动态规划方法来求解。
为了进一步理解,观察上面这个有向图:若k=0, 1, 2, 3,则c[1,3,k]= +∞;c[1,3,4]= 28;若k = 5, 6, 7,则c [1,3,k] = 10;若k=8, 9, 10,则c[1,3,k] = 9。因此1到3的最短路径长度为9。
下面通过程序来分析这一DP过程,对应上面给出的有向图:
1
#include
<
iostream
>
2
using
namespace
std;
3
4
const
int
INF
=
100000
;
5
int
n
=
10
,map[
11
][
11
],dist[
11
][
11
][
11
];
6
void
init(){
7
int
i,j;
8
for
(i
=
1
;i
<=
n;i
++
)
9
for
(j
=
1
;j
<=
n;j
++
)
10
map[i][j]
=
(i
==
j)
?
0
:INF;
11
map[
1
][
2
]
=
2
,map[
1
][
4
]
=
20
,map[
2
][
5
]
=
1
;
12
map[
3
][
1
]
=
3
,map[
4
][
3
]
=
8
,map[
4
][
6
]
=
6
;
13
map[
4
][
7
]
=
4
,map[
5
][
3
]
=
7
,map[
5
][
8
]
=
3
;
14
map[
6
][
3
]
=
1
,map[
7
][
8
]
=
1
,map[
8
][
6
]
=
2
;
15
map[
8
][
10
]
=
2
,map[
9
][
7
]
=
2
,map[
10
][
9
]
=
1
;
16
}
17
void
floyd_dp(){
18
int
i,j,k;
19
for
(i
=
1
;i
<=
n;i
++
)
20
for
(j
=
1
;j
<=
n;j
++
)
21
dist[i][j][
0
]
=
map[i][j];
22
for
(k
=
1
;k
<=
n;k
++
)
23
for
(i
=
1
;i
<=
n;i
++
)
24
for
(j
=
1
;j
<=
n;j
++
){
25
dist[i][j][k]
=
dist[i][j][k
-
1
];
26
if
(dist[i][k][k
-
1
]
+
dist[k][j][k
-
1
]
<
dist[i][j][k])
27
dist[i][j][k]
=
dist[i][k][k
-
1
]
+
dist[k][j][k
-
1
];
28
}
29
}
30
int
main(){
31
int
k,u,v;
32
init();
33
floyd_dp();
34
while
(cin
>>
u
>>
v,u
||
v){
35
for
(k
=
0
;k
<=
n;k
++
){
36
if
(dist[u][v][k]
==
INF) cout
<<
"
+∞
"
<<
endl;
37
else
cout
<<
dist[u][v][k]
<<
endl;
38
}
39
}
40
return
0
;
41
}
输入 1 3
输出 +∞
+∞
+∞
+∞
28
10
10
10
9
9
9
Floyd-Warshall算法不仅能求出任意2点间的最短路径,还可以保存最短路径上经过的节点。下面用精简版的Floyd算法实现这一过程,程序中的图依然对应上面的有向图。
1
#include
<
iostream
>
2
using
namespace
std;
3
4
const
int
INF
=
100000
;
5
int
n
=
10
,path[
11
][
11
],dist[
11
][
11
],map[
11
][
11
];
6
void
init(){
7
int
i,j;
8
for
(i
=
1
;i
<=
n;i
++
)
9
for
(j
=
1
;j
<=
n;j
++
)
10
map[i][j]
=
(i
==
j)
?
0
:INF;
11
map[
1
][
2
]
=
2
,map[
1
][
4
]
=
20
,map[
2
][
5
]
=
1
;
12
map[
3
][
1
]
=
3
,map[
4
][
3
]
=
8
,map[
4
][
6
]
=
6
;
13
map[
4
][
7
]
=
4
,map[
5
][
3
]
=
7
,map[
5
][
8
]
=
3
;
14
map[
6
][
3
]
=
1
,map[
7
][
8
]
=
1
,map[
8
][
6
]
=
2
;
15
map[
8
][
10
]
=
2
,map[
9
][
7
]
=
2
,map[
10
][
9
]
=
1
;
16
}
17
void
floyd(){
18
int
i,j,k;
19
for
(i
=
1
;i
<=
n;i
++
)
20
for
(j
=
1
;j
<=
n;j
++
)
21
dist[i][j]
=
map[i][j],path[i][j]
=
0
;
22
for
(k
=
1
;k
<=
n;k
++
)
23
for
(i
=
1
;i
<=
n;i
++
)
24
for
(j
=
1
;j
<=
n;j
++
)
25
if
(dist[i][k]
+
dist[k][j]
<
dist[i][j])
26
dist[i][j]
=
dist[i][k]
+
dist[k][j],path[i][j]
=
k;
27
}
28
void
output(
int
i,
int
j){
29
if
(i
==
j)
return
;
30
if
(path[i][j]
==
0
) cout
<<
j
<<
'
'
;
31
else
{
32
output(i,path[i][j]);
33
output(path[i][j],j);
34
}
35
}
36
int
main(){
37
int
u,v;
38
init();
39
floyd();
40
while
(cin
>>
u
>>
v,u
||
v){
41
if
(dist[u][v]
==
INF) cout
<<
"
No path
"
<<
endl;
42
else
{
43
cout
<<
u
<<
'
'
;
44
output(u,v);
45
cout
<<
endl;
46
}
47
}
48
return
0
;
49
}
输入 1 3
输出 1 2 5 8 6 3