蒙特霍尔问题：转不过来弯的概率

蒙特霍尔问题是一个源自博弈论的数学游戏问题，大致出自的电视游戏节目“Let's Make a Deal”。问题的名字来自该节目的朱出任蒙特·霍尔（Monty Hall）。 这个游戏的玩法是：参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆车。随后参赛者随便选一个门，主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。这是问题来了，参赛者应不应该换？

这个问题给人最直观的感觉是不用换，因为开的门里面不是车，车肯定在1或2里面，当然每个门里面有车的概率是50%。但是这个问题的答案是应该换，而且换完之后的有车的概率是高达2/3！

这个结果确实有些不可思议，我们先用程序验证下它的正确性。

代码清单：

import java.util.Random;


public class MengTeHuoEr {

	public static void main(String[] args) {
		
		boolean[] a = new boolean[3];//三个门
		Random random = new Random();
		int N = 10000;
		int count = 0;
		
		for(int i = 0; i < N; i++){//循环做N次测试
			
			for(int j = 0; j < 3; j++)
				a[j] = false;
			int indexOfCar = random.nextInt(3);//随机生成汽车位置
			a[indexOfCar] = true;
			
			int indexOfChoose = random.nextInt(3);//随机选择一个门
			
			int indexOfOpen;//主持人打开的门
			for(indexOfOpen = 0; indexOfOpen < 3; indexOfOpen++){
				if(indexOfOpen != indexOfCar && indexOfOpen != indexOfChoose)
					break;
			}
			int indexOfChange;//待交换的门
			for(indexOfChange = 0; indexOfChange < 3; indexOfChange++){
				if(indexOfChange != indexOfOpen && indexOfChange != indexOfChoose)
					break;
			}
			indexOfChoose = indexOfChange;
			if(a[indexOfChoose] == true)
				count++;
		}
		System.out.println(count*1.0/N);
		
	}

}

输出结果：0.6633 （等于2/3）

问题出在哪里？根本原因在于如果参赛者还没有作出选择时，主持人先打开一个不是车的门，再由参赛者选择，因而意见每个门有车的概率是1/2, 而当参赛者选择一个门后，有车的概率是1/3，而当主持人打开一个不是车的门后，参赛者选的门有车的概率仍是1/3！为什么？因为在参赛者没选的两扇门中肯定至少有一辆中有羊，然后主持人打开它，所以这两扇门作为一个整体时有车的概率是2/3，当打开一个不是车的门，那么这么门有车的概率变为了0，而另一个门的概率当然是2/3了。

最后我们用严格的概率论来证明下：

证明：

设：

事件O1为参赛者不改变门最终获得车。

事件O2为参赛者改变了门最终获得车。

事件M1为参赛者开始选择的门有车。

事件M2为参赛者开始选择的门没有车。

事件M3为待交换的门有车。

因为M1,M2是互相完全独立事件，则P(M1) = 1/3, P(M2) = 2/3;

若不改变门：P(O1) = P(M1) = 1/3;

若改变门：P(M3/M1) = 0, P(M3/M2) = 1，

所以由全概率公式得：P(O2) = P(M1) * P(M3/M1) + P(M2) * P(M3/M2) = 1/3 * 0 + 2/3 * 1 = 2/3.

证毕。

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