zoj 2112 Dynamic Rankings(主席树&动态第k大)
The Company Dynamic Rankings has developed a new kind of computer that is no longer satisfied with the query like to simply find the k-th smallest number of the given N numbers. They have developed a more powerful system such that for N numbers a[1], a[2], ..., a[N], you can ask it like: what is the k-th smallest number of a[i], a[i+1], ..., a[j]? (For some i<=j, 0<k<=j+1-i that you have given to it). More powerful, you can even change the value of some a[i], and continue to query, all the same.
Your task is to write a program for this computer, which
- Reads N numbers from the input (1 <= N <= 50,000)
- Processes M instructions of the input (1 <= M <= 10,000). These instructions include querying the k-th smallest number of a[i], a[i+1], ..., a[j] and change some a[i] to t.
Input
The first line of the input is a single number X (0 < X <= 4), the number of the test cases of the input. Then X blocks each represent a single test case.
The first line of each block contains two integers N and M, representing N numbers and M instruction. It is followed by N lines. The (i+1)-th line represents the number a[i]. Then M lines that is in the following format
Q i j k or
C i t
It represents to query the k-th number of a[i], a[i+1], ..., a[j] and change some a[i] to t, respectively. It is guaranteed that at any time of the operation. Any number a[i] is a non-negative integer that is less than 1,000,000,000.
There're NO breakline between two continuous test cases.
Output
For each querying operation, output one integer to represent the result. (i.e. the k-th smallest number of a[i], a[i+1],..., a[j])
There're NO breakline between two continuous test cases.
Sample Input
2
5 3
3 2 1 4 7
Q 1 4 3
C 2 6
Q 2 5 3
5 3
3 2 1 4 7
Q 1 4 3
C 2 6
Q 2 5 3
Sample Output
3
6
3
6
(adviser)
Site: http://zhuzeyuan.hp.infoseek.co.jp/index.files/our_contest_20040619.htm
Source: Online Contest of Christopher's Adventure
题意：
给你一个长度为n(1 <= N <= 50,000)的序列。序列中每个值都不超过1e9.然后有m(1 <= M <= 10,000)次操作。
1.Q i j k 询问i,j间第k大的值。
2.C i t 把序列的第i个值改成t。
思路：
明显的主席树。
网上关于主席树的资料比较少。所以介绍下主席树。一方面让初学者少走弯路。另一方面方便自己温习。避免过段时间自己的代码都不认识了。。。
先讲下主席树相关的概念吧。
1.什么是主席树。
主席树貌似是网上流传的一种叫法。貌似学名叫函数式线段树。相关概念可以自行百度。
2.主席树有什么用。
主席树可以求解区间第k大问题。当然这个划分树也可以完成且时间和空间都比主席树更优。那学主席树还有什么用。当然有用啦。划分树只能解决静态第k大问题。也就是说。如果序列里的值有更新的话划分树就不再适用了。这个时候就体现主席树的优势了。主席树的其他应用还没研究。等遇到了再补充。
3.主席树到底是什么。
其实所谓的主席树就是一堆线段树。一堆线段树?一颗线段树就耗那么多内存了。一堆不会爆么？这个就是主席树的精华了。后面再解释。
4.主席树是怎么实现查询区间第k大问题的呢？
先从最基本的问题入手吧。如果区间是固定的就为[1,n]。然后询问区间的第k大。很简单吧。排个序就行了，但是我们要讲的是线段树的做法。考虑到序列的值可能很大。我们可以先对这n个值hash一下映射到1-n的范围内。然后我们就把这n个值插入线段树。线段树的每个结点维护子树中已经插入值的个数。那么查找第k大就很简单了。如果k>左子树值的个数。那么就在右子树中找第（k-左子树值个数）大值。否则在右子树中找。递归进行直到到叶子结点。然后还原hash值就行了。
现在关键就是怎么解决区间不是[1,n]的问题了。假如我们要查询区间[l,r]的第k大值。如果我们有一颗线段树R插入了里面的值。当然就跟区间[1,n]的方法一样了。假如我们建了n棵上面的线段树。第i棵插入了[1,i]的值。感觉前缀的思想真的很巧妙。跟字符串的前缀有异曲同工之妙。第i棵线段树的根为T[i]。那么怎么求[l,r]的第k大呢。其实和上面方法差不多。我们关键就是要知道线段树R区间[l,r]内的值在左子树的值有多少个。在右子树有多少个。这个时候前缀的优势就来了。(T[r]左子树值的个数-T[l-1]左子树值的个数)不就是R在左子树值的个数么。然后递归定位到叶子结点就行了。
但问题又来了。那么多棵线段树。就算内存不爆。建树的时间也该爆了吧。精华部分来了。不得不叹服前人的智慧啊。由于这n棵线段树结构形态一致。结点个数都一样。这个很好理解吧。都是维护[1,n]值出现个数嘛。而更加爽的是。T[i+1]比T[i]多插一个值a[i+1].试想如果a[i+1]被插入了T[i+1]的左子树。那么T[i+1]的右子树和T[i]的左子树将完全相同。进入右子树同理。那所以T[i+1]的右子树完全不用建了。直接把T[i+1]右子树指针指向T[i]右子树就行了。共享结点。这是多么机智。一下解决了一半的结点。这样的做法递归进行。也就是T[i+1]只需建log2(n)的结点。这样就可以解决静态第k大了。
可以拿这个题开刀嘿嘿~
现在剩下的就是解决动态第k大问题了。这个地方我理解了很久。才明白。明白了其实很简单。如果我们更新了arr[i]那么它将会影响T[i]~T[n]。难道我们要一个一个改么。这样改显然时间上不允许。但是你会发现它的改变对T[i]~T[n]的影响是一样的。如果我们把影响（做子树增加多少值。右子树增加多少结点）记录下来。那我们就只需用原始值减去变化值就好了。变化值我们可以用树状数组来记录。我们把变化当作一个值，那么就成了单点更新区间求和问题了。只是这里不是一个值而是一个线段树而已，但是我们可以类似的处理。
也就是每个树状数组的结点都是一棵线段树。哈哈。真是刺激。那么这个问题就圆满解决了。分析下时空复杂度。首先建一棵空树m*log2(m)。m为hash后值的个数。然后建n个树.n*log2(m)。然后q次查询操作.2*q*log2(m).所以总时间复杂度为。O((m+n+2*q)*log2(m))。空间复杂度。4*m+n*lon2(m)。
下面附上代码：
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<sstream>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<vector>
#include<string>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int maxn=60010;
const int maxm=2500010;
int ls[maxm],rs[maxm],c[maxm];//ls,rs左右儿子指针。c存值的个数
int arr[maxn],H[maxn],T[maxn];//arr存原序列.H存排序后值。T[i]第i棵线段树的根
int s[maxn],ua[maxn],ub[maxn],*use;//s为树状数组结点。当然也是线段树的根啦。
int n,m,tot;
struct node
{
int l,r,k;
} qs[10010];//由于要先hash。
void init()//hash初始化
{
sort(H,H+m);
m=unique(H,H+m)-H;
}
int Hash(int x)
{
return lower_bound(H,H+m,x)-H;
}
int build(int L,int R)//建空树
{
int rt=tot++,mid;
c[rt]=0;
if(L!=R)
{
mid=(L+R)>>1;
ls[rt]=build(L,mid);
rs[rt]=build(mid+1,R);
}
return rt;
}
int Insert(int prt,int x,int val)
{
int nrt=tot++,tp=nrt,l=0,r=m-1,mid;
c[nrt]=c[prt]+val;
while(l<r)//非递归插入。节省内存。
{
mid=(l+r)>>1;
if(x<=mid)
{
ls[nrt]=tot++,rs[nrt]=rs[prt];//共享结点
prt=ls[prt],nrt=ls[nrt];
r=mid;
}
else
{
ls[nrt]=ls[prt],rs[nrt]=tot++;
prt=rs[prt],nrt=rs[nrt];
l=mid+1;
}
c[nrt]=c[prt]+val;
}
return tp;
}
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
void update(int x,int p,int d)//树状数组更新
{
while(x<=n)
{
s[x]=Insert(s[x],p,d);
x+=lowbit(x);
}
}
int sum(int x)
{
int ret=0;
while(x)
{
ret+=c[ls[use[x]]];
x-=lowbit(x);
}
return ret;
}
int qu(int L,int R,int k)
{
int lrt=T[L-1],rrt=T[R],l=0,r=m-1,mid,tp,i,sa,sb;
for(i=L-1,use=ua;i;i-=lowbit(i)) use[i]=s[i];
sb=sum(L-1);
for(i=R ,use=ub;i;i-=lowbit(i)) use[i]=s[i];
sa=sum(R);
while(l<r)
{
mid=(l+r)>>1;
tp=sa-sb+c[ls[rrt]]-c[ls[lrt]];//初始值加改变值
if(k<=tp)
{
r=mid;
lrt=ls[lrt],rrt=ls[rrt];
for(i=L-1,use=ua;i;i-=lowbit(i)) use[i]=ls[use[i]];//计算对应子树改变
sb=sum(L-1);
for(i=R ,use=ub;i;i-=lowbit(i)) use[i]=ls[use[i]];
sa=sum(R);
}
else
{
l=mid+1;
k-=tp;
lrt=rs[lrt],rrt=rs[rrt];
for(i=L-1,use=ua;i;i-=lowbit(i)) use[i]=rs[use[i]];
sb=sum(L-1);
for(i=R ,use=ub;i;i-=lowbit(i)) use[i]=rs[use[i]];
sa=sum(R);
}
}
return l;
}
int main()
{
int i,q,cas;
char op[10];
scanf("%d",&cas);
while(cas--)
{
scanf("%d%d",&n,&q);
tot=m=0;
for(i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&arr[i]),H[m++]=arr[i];
for(i=0;i<q;i++)
{
scanf("%s",op);
if(op[0]=='Q')
scanf("%d%d%d",&qs[i].l,&qs[i].r,&qs[i].k);
else
{
scanf("%d%d",&qs[i].l,&qs[i].r);
qs[i].k=-INF,H[m++]=qs[i].r;
}
}
init();
T[0]=build(0,m-1);
for(i=1;i<=n;i++)
T[i]=Insert(T[i-1],Hash(arr[i]),1);
for(i=1;i<=n;i++)
s[i]=T[0];
for(i=0;i<q;i++)
{
if(qs[i].k==-INF)
{
update(qs[i].l,Hash(arr[qs[i].l]),-1);
update(qs[i].l,Hash(qs[i].r),1);
arr[qs[i].l]=qs[i].r;//开始忘了改这里无限wa啊。。。
}
else
printf("%d\n",H[qu(qs[i].l,qs[i].r,qs[i].k)]);
}
}
return 0;
}