second order system analysis 自动控制原理 二阶系统的matlab仿真分析

二阶系统的matlab仿真分析

二阶系统的matlab仿真分析如上图。

根据二阶函数对阶跃函数的响应函数，我们对参数epsilon进行分析讨论

由于临界阻尼和无阻尼的情况在现实生活中比较难出现，二阶方程的根几乎不可能恰好，实部为0，或者两个实部相同且虚部为0. 于是，并为对以上两种较特殊的情况进行讨论。

选择欠阻尼和过阻尼两种情况进行分析讨论。

可以看出，当epsilon比较小的时候，响应时间短，且伴随有明显的超调。

随着epsilon的增大，超调明显降低，epsilon在0.7(恰巧工程上的最佳阻尼系数是0.7！)之后就没有超调了。随着epsilon的增大响应时间变得越来越长。

Wn = (1/T);

二阶方程的根

实部：X = -epsilon_0*Wn

虚部：Y = j*(Wn ).*sqrt(1-(epsilon_0).^2)

下图是上面十条曲线对应的根分布

可以看出图中所有的点均位于Y轴左侧，说明最终响应都将收敛

虚部为0的点很好的对应了过阻尼状态(同样颜色的是一对实根)，图中关于X轴对称的点，系统处于欠阻尼状态

下图是上升时间和阻尼系数epsilon之间的关系(欠阻尼状态下)

可以看出，随着阻尼系数的增大，上升时间变长！

matlab和本文相关代码：

%%*************************************************************
% code writer: EOF
% code date:2014.03.18
% e-mail: [email protected]
% code purpose : 
%           I just want to share with someone who is interesting
% in adaptive control. This code is to help people to understand
% second order system.
%%**************************************************************
clear all
clc
syms s f t m;
K01 = 1;
K02 = 1;
K0 = (K01*K02)./(1+K01*K02);
hold on;
figure(1);
T0 = 1;
for epsilon_0 = 0.1:0.2:2
    T = T0./(1+K0);
%     epsilon_0 = 0.5*(1/(K01*K02*T0));
    epsilon = epsilon_0./(1+K0);
    K = K0/(1+K0);
    f = (K./((T.^2).*(s.^2)+2*epsilon_0.*T.*s+K0)).*(1./s);
    m = ilaplace(f);
    ezplot(m,[0,120]);
    axis([0 60 0 1.2]);
end
legend('0.1','0.3','0.5','0.7','0.9','1.1','1.3','1.5','1.7','1.9');
hold off;
figure(2);
hold on;
for epsilon_0 = 0.1:0.2:2
    if epsilon_0 <1
        plot(-epsilon_0.*(1./T),(1./T).*sqrt(1-(epsilon_0).^2),'*');
        plot(-epsilon_0.*(1./T),-(1./T).*sqrt(1-(epsilon_0).^2),'*');
    elseif abs(epsilon_0-1.1) < 0.1  
        plot(-epsilon_0.*(1./T)+(1./T).*sqrt((epsilon_0).^2-1),0,'*','Color','r');
        plot(-epsilon_0.*(1./T)-(1./T).*sqrt((epsilon_0).^2-1),0,'*','Color','r');
    elseif abs(epsilon_0-1.3) < 0.1 
        plot(-epsilon_0.*(1./T)+(1./T).*sqrt((epsilon_0).^2-1),0,'*','Color','g');
        plot(-epsilon_0.*(1./T)-(1./T).*sqrt((epsilon_0).^2-1),0,'*','Color','g');
    elseif abs(epsilon_0-1.5) < 0.1 
        plot(-epsilon_0.*(1./T)+(1./T).*sqrt((epsilon_0).^2-1),0,'*','Color','b');
        plot(-epsilon_0.*(1./T)-(1./T).*sqrt((epsilon_0).^2-1),0,'*','Color','b');
    elseif abs(epsilon_0-1.7) < 0.1 
        plot(-epsilon_0.*(1./T)+(1./T).*sqrt((epsilon_0).^2-1),0,'*','Color','y');
        plot(-epsilon_0.*(1./T)-(1./T).*sqrt((epsilon_0).^2-1),0,'*','Color','y');
    elseif abs(epsilon_0-1.9) < 0.1 
        plot(-epsilon_0.*(1./T)+(1./T).*sqrt((epsilon_0).^2-1),0,'*','Color','k');
        plot(-epsilon_0.*(1./T)-(1./T).*sqrt((epsilon_0).^2-1),0,'*','Color','k');
    end
end
axis([-6 1 -3 3]);
hold off;
figure(3);
hold on;
Wn = (1./T);
for epsilon_0 = 0.1:0.2:2 
    Wd = Wn.*(1-(epsilon_0).^2);
    if epsilon_0 < 1
        belta = acos(epsilon_0);
        tr = (pi-belta)./Wd;
        plot(epsilon_0*10,tr,'*');
    end
end
legend('epsilon = 0.1','epsilon = 0.3','epsilon = 0.5','epsilon = 0.7','epsilon = 0.9');