[置顶] n皇后2种解题思路与代码-Java与C++实现

          林炳文Evankaka原创作品。转载请注明出处http://blog.csdn.net/evankaka

           摘要：本文主要讲了n皇后问题的解题思路，并分别用java和c++实现了过程，最后，对于算法改进，使用了位运算。

一、问题抛出与初步解题思路

问题描述：八皇后问题是一个以国际象棋为背景的问题：如何能够在 8×8 的国际象棋棋盘上放置八个皇后，使得任何一个皇后都无法直接吃掉其他的皇后？为了达到此目的，任两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上。

转化规则：其实八皇后问题可以推广为更一般的n皇后摆放问题：这时棋盘的大小变为n×n，而皇后个数也变成n。当且仅当 n = 1 或 n ≥ 4 时问题有解。令一个一位数组a[n]保存所得解，其中a[i] 表示把第i个皇后放在第i行的列数（注意i的值都是从0开始计算的），下面就八皇后问题做一个简单的从规则到问题提取过程。

（1）因为所有的皇后都不能放在同一列，因此数组的不能存在相同的两个值。
（2）所有的皇后都不能在对角线上，那么该如何检测两个皇后是否在同一个对角线上？我们将棋盘的方格成一个二维数组，如下：

假设有两个皇后被放置在（i，j）和（k，l）的位置上，明显，当且仅当|i-k|=|j-l| 时，两个皇后才在同一条对角线上。

二、代码与结果

（1）C++版本

运行平台：VS2013

操作系统:Windows7

/**
 * n皇后问题解决
 * @author lin
 *
 */

#include <iostream>
#include <cmath>
#include<time.h>

using namespace std;
/**皇后的数目*/
static int num;
/**下标i表示第几行，x[i]表示第i行皇后的位置,注意此处0行不用*/
static int *x;
/**解的数目*/
static int sum = 0;


/**
 * 判断第k行皇后可以放置的位置
 * @param k k表示第k行，X[K]k表示第k行上皇后的位置
 * @return boolean false表示此处不能放置皇后
 */
bool place( int k )
{
	for ( int j = 1; j < k; j++ )
	{
		/* 如果当前传入的第K行上的皇后放置的位置和其它皇后一个对角线(abs(x[k]- x[j])==abs(k-j)或一个直线上(x[j] == x[k]) */
		if ( abs( x[k] - x[j] ) == abs( k - j ) || x[j] == x[k] )
		{
			return(false);
		}
	}
	return(true);
}


/**
 * 一行一行的确定该行的皇后位置
 * @param t
 */
void backtrack( int t )
{
	if ( t > num )                  /* 如果当前行大于皇后数目，表示找到解了 */
	{
		sum++;
		/* 依次打印本次解皇后的位置 */
		for ( int m = 1; m <= num; m++ )
		{
			//cout << x[m];   /* 这一行用输出当递归到叶节点的时候，一个可行解 */
			//这里只是为了好看才写成下面的
			for(int k =1; k <= num;k++){
				if(k == x[m]){
					cout << x[m] <<" "; 
				}else {
					cout << "* ";//用*表示没有被用到的位置 
				}
			}
			cout << endl;

		}
		cout << endl;
	} else {
		for ( int i = 1; i <= num; i++ )
		{
			x[t] = i;       /* 第t行上皇放在i列处 */
			if ( place( t ) )
			{
				/* 此处的place函数用来进行我们上面所说的条件的判断，如果成立，进入下一级递归 */
				backtrack( t + 1 );
			}
		}
	}
}


int main()
{
	cout<<"请输入皇后数目：";
	cin>>num; 

	clock_t start,finish;
	double totaltime;//计算程序运行时间
	start=clock();//起始时间

	x	= new int[num + 1];     /* 此处注意加1，这里0行不用，1-num分别对应1-num行 */
	for ( int i = 0; i <= num; i++ )
		x[i] = 0;
	backtrack( 1 );                 /*传入第一个皇后，开始递归 */
	cout << "方案共有" << sum;
	delete[]x;

	finish=clock();//结束时间
	totaltime=(double)(finish-start)/CLOCKS_PER_SEC;
	cout<<"\n此程序的运行时间为"<<totaltime<<"秒！"<<endl;

	while (1);
	return(0);
}

输出结果：

8皇后：

10皇后：

（2）java版本

运行平台：eclispse luna

操作系统:Windows7

package com.lin;

import java.lang.*;

/**
 * n皇后问题解决
 * @author lin
 *
 */
public class QueenTest {
	/**下标i表示第几行，x[i]表示第i行皇后的位置,注意此处0行不用*/
	public int[] x;
	/**皇后的数目*/
	public int queenNum;
	/**解的数目*/
	public int methodNum;
	
	 QueenTest(int queenNum) {
		this.queenNum = queenNum;
		this.x = new int[queenNum+1];//注意，这里我们从第1行开始算起，第0行不用
		backtrack(1);//从第一个皇后开始递归
	}
	
	/**
	 * 一行一行的确定该行的皇后位置
	 * @param t
	 */
	public void backtrack(int t)
	{
	    if( t > queenNum) //如果当前行大于皇后数目，表示找到解了
	    {
	    	methodNum++;//sum为所有的可行的解
	    	//依次打印本次解皇后的位置
	        for(int m = 1; m <= queenNum; m++){
	           //System.out.println(x[m]);//这一行用输出当递归到叶节点的时候，一个可行解
	           //这里只是为了好看才写成下面的
	           for(int k =1; k <= queenNum;k++){
	        	   if(k == x[m]){
	        		 System.out.print(x[m]+" "); 
	        	   }else {
	        		 System.out.print("* ");//用*表示没有被用到的位置 
				}
	           }
		        System.out.println();
	        }
	        System.out.println();
	    }
	    else{
	        for(int i = 1;i <= queenNum;i++)
	        {
	            x[t] = i;//第t行上皇后的位置只能是1-queenNum	          
	            if(place(t)) {//此处的place函数用来进行我们上面所说的条件的判断，如果成立，进入下一级递归,即放置下一个皇后
	            	backtrack(t+1);
	            }
	        }
	    }
	}
	
	
	
    /**
     * 判断第k行皇后可以放置的位置
     * @param k k表示第k行，X[K]k表示第k行上皇后的位置
     * @return boolean false表示此处不能放置皇后
     */
	public boolean place(int k) {
		for (int j = 1; j < k; j++)
			// 如果当前传入的第K行上的皇后放置的位置和其它皇后一个对角线(abs(x[k]- x[j])==abs(k-j)或一个直线上(x[j] == x[k])
			if (Math.abs(x[k] - x[j]) == Math.abs(k - j) || (x[j] == x[k])){																
				return false;
			}
		return true;
	}

	public static void main(String[] args) {
		QueenTest queenTest = new QueenTest(8);
		System.out.println("总共解数为："+ queenTest.methodNum);

	}
}

输出结果：

这是八皇后

这是十皇后：

通过对比java和C++发现，反而java运行更加快？这是为什么呢？原因就是C++中使用了new操作，而java中基本数据都是在栈上来创建的，存取的速度比堆快多了。

三、更加高效的算法-位运算版本

    上面的方法递归次数实在太多了，也浪费空间，下面介绍目前号称是最快的--位运算。原理就不介绍了，看这里吧http://blog.csdn.net/xadillax/article/details/6512318

（1）Java代码

package com.lin;

import java.util.Scanner;

/**
 * n皇后问题解决
 * @author lin
 *
 */
public class QueenTest3 {
	
	/**sum用来记录皇后放置成功的不同布局数*/
	public long sum = 0;
	
	/**upperlim用来标记所有列都已经放置好了皇后*/
	public long upperlim = 1;      
	  

	/**
	 * 试探算法从最右边的列开始。  
	 * @param row 竖列
	 * @param ld  左对角线
	 * @param rd  右对角线
	 */
	void queenPos(long row, long ld, long rd)  
	{  
	    if (row != upperlim)  
	    {  
	        // row，ld，rd进行“或”运算，求得所有可以放置皇后的列,对应位为0，  
	        // 然后再取反后“与”上全1的数，来求得当前所有可以放置皇后的位置，对应列改为1  
	        // 也就是求取当前哪些列可以放置皇后  
	        long pos = upperlim & ~(row | ld | rd);   
	        while (pos != 0)    // 0 -- 皇后没有地方可放，回溯  
	        {  
	            // 拷贝pos最右边为1的bit，其余bit置0  
	            // 也就是取得可以放皇后的最右边的列  
	            long p = pos & -pos;                                                
	  
	            // 将pos最右边为1的bit清零  
	            // 也就是为获取下一次的最右可用列使用做准备，  
	            // 程序将来会回溯到这个位置继续试探  
	            pos -= p;                             
	  
	            // row + p，将当前列置1，表示记录这次皇后放置的列。  
	            // (ld + p) << 1，标记当前皇后左边相邻的列不允许下一个皇后放置。  
	            // (ld + p) >> 1，标记当前皇后右边相邻的列不允许下一个皇后放置。  
	            // 此处的移位操作实际上是记录对角线上的限制，只是因为问题都化归  
	            // 到一行网格上来解决，所以表示为列的限制就可以了。显然，随着移位  
	            // 在每次选择列之前进行，原来N×N网格中某个已放置的皇后针对其对角线  
	            // 上产生的限制都被记录下来了  
	            queenPos(row + p, (ld + p) << 1, (rd + p) >> 1);                                
	        }  
	    }  
	    else     
	    {  
	        // row的所有位都为1，即找到了一个成功的布局，回溯  
	        sum++;  
	    }  
	}
	
	/**
	 * 根据传入的皇后数目开始计算
	 * @param n 皇后数据
	 */
	void queen(int queenNum) {
		if ((queenNum < 1) || (queenNum > 32)) {
			System.out.println(" 只能计算1-32之间\n");
			return;
		}
		// N个皇后只需N位存储，N列中某列有皇后则对应bit置1。
		upperlim = (upperlim << queenNum) - 1;
		queenPos(0, 0, 0);
	}


	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc=new Scanner(System.in);  
		System.out.print("请输入皇后数目:");  
		int num=sc.nextInt();  
		long starTime=System.currentTimeMillis();//程序开始时间
		QueenTest3 queenTest3 = new QueenTest3();
		queenTest3.queen(num);
		System.out.println("总共解数为："+ queenTest3.sum);
		
		long endTime=System.currentTimeMillis();//程序结束时间
		double runTimes=(double)(endTime-starTime) / 1000.0;
		System.out.println("程序总共运行时间："+ runTimes + "s");
		

	}
}

运行结果：

八皇后的效果：（位运算版本）

把上面的代码中的输出结果的去掉：（非位运算版本）

	    	//依次打印本次解皇后的位置
	      /*  for(int m = 1; m <= queenNum; m++){
	           //System.out.println(x[m]);//这一行用输出当递归到叶节点的时候，一个可行解
	           //这里只是为了好看才写成下面的
	           for(int k =1; k <= queenNum;k++){
	        	   if(k == x[m]){
	        		 System.out.print(x[m]+" "); 
	        	   }else {
	        		 System.out.print("* ");//用*表示没有被用到的位置 
				}
	           }
		        System.out.println();
	        }
	        System.out.println();*/

然后输出如下：

经过两者对比，发现快了2ms

十皇后效果，没想到反而比八皇后的位运算版本还快（十皇后位运算版本）

十皇后非位运算版本

快了10倍啊！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

12皇后

位运算

非位运算

（2）C++版本

/* 
** 目前最快的N皇后递归解决方法 
** N Queens Problem 
** 试探-回溯算法，递归实现 
*/  
#include <iostream>
using namespace std;  
#include <time.h>

// sum用来记录皇后放置成功的不同布局数；upperlim用来标记所有列都已经放置好了皇后。  
long sum = 0, upperlim = 1;       

// 试探算法从最右边的列开始。  
void test(long row, long ld, long rd)  
{  
	if (row != upperlim)  
	{  
		// row，ld，rd进行“或”运算，求得所有可以放置皇后的列,对应位为0，  
		// 然后再取反后“与”上全1的数，来求得当前所有可以放置皇后的位置，对应列改为1  
		// 也就是求取当前哪些列可以放置皇后  
		long pos = upperlim & ~(row | ld | rd);   
		while (pos)    // 0 -- 皇后没有地方可放，回溯  
		{  
			// 拷贝pos最右边为1的bit，其余bit置0  
			// 也就是取得可以放皇后的最右边的列  
			long p = pos & -pos;                                                

			// 将pos最右边为1的bit清零  
			// 也就是为获取下一次的最右可用列使用做准备，  
			// 程序将来会回溯到这个位置继续试探  
			pos -= p;                             

			// row + p，将当前列置1，表示记录这次皇后放置的列。  
			// (ld + p) << 1，标记当前皇后左边相邻的列不允许下一个皇后放置。  
			// (ld + p) >> 1，标记当前皇后右边相邻的列不允许下一个皇后放置。  
			// 此处的移位操作实际上是记录对角线上的限制，只是因为问题都化归  
			// 到一行网格上来解决，所以表示为列的限制就可以了。显然，随着移位  
			// 在每次选择列之前进行，原来N×N网格中某个已放置的皇后针对其对角线  
			// 上产生的限制都被记录下来了  
			test(row + p, (ld + p) << 1, (rd + p) >> 1);                                
		}  
	}  
	else     
	{  
		// row的所有位都为1，即找到了一个成功的布局，回溯  
		sum++;  
	}  
}  

int main()  
{  
	int num;
	cout<<"请输入皇后数目：";
	cin>>num; 

	clock_t start,finish;
	double totaltime;//计算程序运行时间
	start=clock();//起始时间

	// 因为整型数的限制，最大只能32位，  
	// 如果想处理N大于32的皇后问题，需要  
	// 用bitset数据结构进行存储  
	if ((num < 1) || (num > 32))                   
	{  
		cout << " 只能计算1-32之间\n";  
		return 0;
	}  

	// N个皇后只需N位存储，N列中某列有皇后则对应bit置1。  
	upperlim = (upperlim << num) - 1;           

	test(0, 0, 0);  
	cout << "方案共有" << sum;

	finish=clock();//结束时间
	totaltime=(double)(finish-start)/CLOCKS_PER_SEC;
	cout<<"\n此程序的运行时间为"<<totaltime<<"秒！"<<endl;
	while(1);
	return 0;  
}

输出结果：

下面来对比下java和C++运算的效果：

16皇后C++版本（位运算）

16皇后java版本（位运算）

发现又是java快了点。