Convolutional Neural Networks for Visual Recognition 3

Gradient Computing

前面我们介绍过分类器模型一般包含两大部分，一部分是score function，将输入的原始数据映射到每一类的score，另外一个重要组成部分是loss function，计算预测值
与实际值之间的误差，具体地，给定一个线性分类函数： f(xi;W)=Wxi ，我们定义如下的loss function：

L=1N∑i∑j≠yi[max(0,f(xi,W)j−f(xi,W)yi+1)]+αR(W)

我们看到 L 与参数 W 有关，所以我们需要找到一个合适的 W 使得 L 尽可能小，这个过程称为优化。所以一个完整的分类模型，包括三个核心部分：score function，loss function 以及optimization(优化)。

一般来说，我们定义的loss function中，里面涉及的输入变量都是高维的向量，要让它们直接可视化是不可能的，我们可以通过低维的情况下得到一些直观的印象，让loss在直线或者平面上变化，比如
我们可以先初始化一个权值矩阵 W ，然后让该矩阵沿着方向 W1 变化，那么可以评估 W1 不同的幅值对loss的影响，即 L(W+aW1) ，这个loss会随着不同的 a 生成
一条曲线，同样，我们可以让 L 在两个方向 W1 ， W2 变化， L(W+aW1)+bW2 不同的 a,b 会生成不同的loss，这个loss会形成一个平面，如下图所示：

我们可以通过从数学的角度解释这个loss function，考虑只有一个样本的情况，我们有：

Li=∑j≠yi[max(0,wTjxi−wTyixi+1)]

从这个表达式可以看出，样本的loss是 W 的一个线性函数，如果我们考虑一个含有三个样本(每个样本是一个一维的点)的训练集，这个训练集有三个类别，那么训练集
的loss可以表示为：

L0=[max(0,wT1x0−wT0x0+1)]+[max(0,wT2x0−wT0x0+1)]L1=[max(0,wT0x1−wT1x1+1)]+[max(0,wT2x1−wT1x1+1)]L2=[max(0,wT0x2−wT2x2+1)]+[max(0,wT1x2−wT2x2+1)]L=(L0+L1+L2)/3

因为样本 xi 是一维的，所以系数 wi 也是一维的，它们的和 L 与与 W 的关系可以由下图表示：

上图给出的是一维的情况，如果是高维的话，这个要复杂的多，我们希望找到一个 W 使得该loss最小，上图是一个凸函数，对于这类函数的优化，是一大类属于凸优化的
问题，但是我们后面介绍的神经网络，其loss function是比这更复杂的一类函数，不是单纯地凸函数。上面的图形告诉我们这个loss function不是处处可导的，但是我们
可以利用函数subgradient(局部可导)的性质，来优化这个函数。

W 的搜寻是属于一个优化问题，由于我们后面介绍的神经网络的loss function并不是凸函数，虽然我们现在看到的SVM loss function是一个凸函数，但是我们并不打算
直接用凸优化的相关方法来找这个 W ，我们要介绍一种在后面的神经网络也能用到的优化技术来优化这个SVM loss function。

方案一：随机搜索
最简单，但是最糟糕的方案就是随机搜索，我们对 W 赋予一系列的随机值，然后看哪个随机值对应的loss最低，这样肯定是耗时而且低效的。

方案二：随机局部搜索
在随机搜索的基础上，加上一个局部搜索，即 W+σW ，我们会判断这个更新是有助于loss减小还是增大，如果是减小，那么我们就更新，反之就不更新，而继续做
局部搜索。

方案三：梯度下降
最简洁高效的算法就是梯度下降法，这种方法也是神经网络优化方法中用的最多的一种方法。

一般来说，我们会Back-propagation去计算loss function对 W 的偏导数, 这是利用链式法则(chain-rule)来计算梯度的一种方式.

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