【高斯消元】[CTSC2001 D2]GPA 排名系统

GPA 排名系统

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Gpa.pas (exe)
【问题描述】
目前，高等院校往往采用 GPA(Grade Point Average)来评价学生的学术表现。传
统的排名方式是求每一个学生的平均成绩，以平均成绩作为依据进行排名。
但是这样的排名方法已经引起了教育界以及社会各界人士的争议。因为它存在
着许多弊端。对于不同的课程，选课学生的平均成绩会不同程度地受到课程的难易
程度和老师的严厉程度的制约。因而这样的排名系统无形中就鼓励了学生选择一些
比较容易的课程，因为这样可以事半功倍地获得较高的平均分。
为了克服这些弊端， 我们需要对排名系统做一定的改进。
一种改进的方案是对选第 i 门课的每一个学生的成绩加上一个特定的修正值 di，
例如编号为 j 的学生该课的成绩 Gij 修改为 G’ij=Gij+di。最终使得经过调整后，该课的
平均分等于选该课的所有学生的所有课的平均分。对每一门课都做这样的调整，使
得上述条件对所有课程都满足。这种调整方案一定程度地避免了传统排名系统的不
公正。而你的任务正是根据一个大学某一个年级学生某学年的成绩，给出他们的排
名。假设每一个学生都至少选一门课。
【输入文件】
输入文件为 gpa.in。
输入文件第一行是两个正整数 m（ 1<=m<=500）和 n(1<=n<=100)，分别表示学
生人数和课程数目。
接下来 m 行是一个矩阵，矩阵中第 i 行的第 j 个元素表示第 i 个学生第 j 门课的
成绩 G(i,j)。输入的成绩是一个 0 到 100 之间的整数，如果该学生没有选这门课，那
么 G(i,j)＝-1。由于该方案的施行只是为了获得更加科学的排名，因此调整后的成绩
的数值大小本身没有什么意义，因此调整后的成绩可以不是 0－100 之间的数。
【输出文件】
输出文件为 gpa.out。
输出采用改进方案后这些学生的排名。以学生编号的形式输出，每行是一个学
生的编号。
如果在上述调整后，有若干学生平均分相等(精确到小数点后的三位)，则他们的
名次相同，按照任意顺序输出。
当然许多时候，上述调整无法顺利进行，即调整的目标无法达到。（因此，在实
际问题中，我们往往在最小二乘意义下获得一种最接近目标的调整方案。）也有可能
或者因调整不唯一而不能确定学生的名次。若以上两种情况发生，则输出“ fail”。

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分析:我们可以根据题目描述列出方程
令 gi,j 表示第i个学生的第j门课的成绩， dj 为修正值, sj,k 名学生同时选择了第j门和第k门学科，那么对于第j门学科，可以得到

∑mi=1且gi,j≠−1gi,jsj,j+dj=∑mi=1且gi,j≠−1∑nk=1且gi,k≠−1(gi,k+dk)∑nk=1sj,k

这样一个方程，是不是特别简单。
继续化简

∑nk=1sj,ksj,j∗∑i=1gi,j≠−1mgi,j+∑k=1nsj,k∗dj=∑i=1gi,j≠−1m∑k=1gi,j≠−1gi,k≠−1n(gi,k+dk)

∑nk=1sj,ksj,j∗∑i=1gi,j≠−1mgi,j=∑i=1gi,j≠−1m∑k=1gi,j≠−1gi,k≠−1n(gi,k+dk)−∑k=1nsj,k∗dj

∑nk=1sj,ksj,j∗∑i=1gi,j≠−1mgi,j=∑i=1gi,j≠−1m∑k=1gi,j≠−1gi,k≠−1ngi,k+∑i=1gi,j≠−1m∑k=1gi,j≠−1gi,k≠−1ndk−∑k=1nsj,k∗dj

∑nk=1sj,ksj,j∗∑i=1gi,j≠−1mgi,j=∑i=1gi,j≠−1m∑k=1gi,j≠−1gi,k≠−1ngi,k+∑k=1nsj,k∗dk−∑k=1nsj,k∗dj

∑nk=1sj,ksj,j∗∑i=1gi,j≠−1mgi,j−∑i=1gi,j≠−1m∑k=1gi,j≠−1gi,k≠−1ngi,k=∑k=1nsj,k∗dk−∑k=1nsj,k∗dj

然后，我们把常数项移到右边去

∑k=1nsj,k∗dk−∑k=1nsj,k∗dj=∑nk=1sj,ksj,j∗∑i=1gi,j≠−1mgi,j−∑i=1gi,j≠−1m∑k=1gi,j≠−1gi,k≠−1ngi,k

由于只有d_j是未知的，我们对于每一个学科分别列一个方程，就可以得到n个方程,如下。

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢s1,1−∑k=1ns1,ks2,1⋮sn,1s1,2s2,2−∑k=1ns2,k⋮sn,2⋯⋯⋱⋯s1,ns2,n⋮sn,n−∑k=1nsn,k∑nk=1s1,ks1,1∗∑i=1gi,1≠−1mgi,1−∑i=1gi,1≠−1m∑k=1gi,k≠−1ngi,k∑nk=1s2,ks2,2∗∑i=1gi,2≠−1mgi,2−∑i=1gi,2≠−1m∑k=1gi,k≠−1ngi,k⋮∑nk=1sm,ksn,n∗∑i=1gi,n≠−1mgi,n−∑i=1gi,n≠−1m∑k=1gi,k≠−1ngi,k⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

用高斯消元解出即可。

代码暂时写不出。
如果你看到这行字，恭喜你，找到正解，因为细心你已经发现，这些方程化简之后，可能没有固定的解，但是答案不是fail，当你发现这个，你已经进入坑底。Congratulation!。下面请你帮我继续挖，挖完了记得在评论里给我链接。Best wishes!