Uva 348 Optimal Array Multiplication Sequence (DP_矩阵链乘)

题目链接：http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=114&page=show_problem&problem=284

题目大意：标准的矩阵链乘问题，给定n个矩阵，ai行，bi列，两个矩阵相乘(bi == aj)计算次数为ai*bi*bj(ai*aj*bj)。现在要计算的是所有矩阵相乘的最小次数，因为相乘顺序不一样，结果也不一样，如A1,A2,A3，((A1 x (A2 x A3)与((A1 x A2) x A3)结果就不一样。

解题思路：这种模型显然具有无后效性，算n个矩阵相乘的最小次数，要利用n-1个矩阵相乘的最小次数，以此类推，状态也很明显.设dp[i][j]表示矩阵i到矩阵j相乘的最小计算次数,那么状态转移方程就可以是:dp[i][j] = dp[i][k] + dp[i][j] + arr[i] * arr[k]*arr[j+1]; (i < k <= j,arr[i]和arr[i+1]表示矩阵的行和列，那么arr[j]和arr[j+1]也表示行和列)。这题在转移的时候容易错，因为相乘的结果会超32位int，如果超了就得不到最优解。

    本题还要求输出，输出是通过递归实现的，每次通过path[i][j（dp[i][j]从k转移过来，path[i][j] = k)]将输出分成两个方向进行。

测试数据：

10
100000 2
2 3
3 4000
4000 5
5 6
7 8
8 9
9 1000
1000 11
11 12


6
35 30
30 15
15 5
5 10
10 20
20 25

代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX 100
#define INF (int64)1<<62
#define int64 __int64


int n,arr[MAX];
int64 dp[MAX][MAX];
int path[MAX][MAX];


void Solve_1A() {

	int i,j,k,len;
	int64 tpk;


	for (len = 1; len < n; ++len)
		for (i = 1; i + len <= n; ++i) {

			j = i + len;
			dp[i][j] = INF;
			for (k = i + 1; k <= j; ++k) {

				tpk = dp[i][k-1] + dp[k][j];
				tpk += arr[i] * arr[k] * arr[j+1];
				if (tpk < dp[i][j]) {

					dp[i][j] = tpk;
					path[i][j] = k;
				}
			}
		}
}
void Print(int i,int j) {

	if (j == i) 
		printf("A%d",i);
	else {
		
		printf("(");
		Print(i,path[i][j]-1);
		printf(" x ");
		Print(path[i][j],j);
		printf(")");
	}
}


int main()
{
	int i,j,k,cas = 0;


	while (scanf("%d",&n),n) {

		scanf("%d%d",&arr[1],&arr[2]);
		for (i = 2; i <= n; ++i)
			scanf("%d%d",&arr[i],&arr[i+1]);
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		memset(path,0,sizeof(path));


		Solve_1A();
		printf("Case %d: ",++cas);
		Print(1,n);
		printf("\n");
	}
}

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