砝码称重问题
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砝码称重问题
问题：4个砝码，每个重量都是整数克，总重量为40克，放在天平上可以称出1～40克的物体。求这4个砝码各多少克。
1. 问题分析
设4个砝码的重量分别为w1、w2、w3、w4，则w1+w2+w3+w4=40，且w1,w2,w3,w4均为正整数。
假设不相等(假设w1<w2<w3<w4)，故砝码中最大为34克。
称重的天平有物体盘和砝码盘，称重时，若砝码只放在砝码盘，则
物体质量=砝码盘砝码质量
但若砝码盘和物体盘中都放置了砝码，则
物体质量=砝码盘砝码质量-物体盘砝码质量
从1～40，任意一个数，都应该能找到相应的砝码放置方法。砝码只有4个，且每次称重时，这4个砝码只能出现0次或者1次，且砝码要么在物体盘，要么在砝码盘，要解该问题，应该转换思路。
假设砝码在物体盘，认定其出现-1次
假设砝码在砝码盘，认定其出现1次
若该次称重，不需要该砝码，认定其出现0次
设4个砝码在每次称重中出现的次数分别为x1,x2,x3,x4，则只有-1、0、1这三种取值
如上分析，找到的砝码组合个数应该为40个（即1～40中的任意一个数都有对应的砝码组合）
2. C++版
/************************************************************************ * 4个砝码，每个重量都是整数克，总重量为40克，放在天平上可以称出1～40克的 * 物体。求这4个砝码各多少克。 * C++版 ************************************************************************/ #include <stdio.h> class CWeight { int w1,w2,w3,w4; //砝码的重量 //砝码总重量 static const int TOTALWEIGHT=40; //4个砝码,w1+w2+w3+w4=40,且w1,w2,w3,w4均为整数,假设不相等(假设w1<w2<w3<w4)故最大为34 static const int MAXWEIGHT=34; public: CWeight(){w1=w2=w3=w4=0;} ~CWeight(){} void Calculate(); bool weight(int w1,int w2,int w3,int w4); void output(int w1,int w2,int w3,int w4); }; void CWeight::Calculate() { int w1,w2,w3,w4; for (w1=1;w1<=MAXWEIGHT;w1++) { for (w2=w1+1;w2<=MAXWEIGHT;w2++) { for (w3=w2+1;w3<=MAXWEIGHT;w3++) { for (w4=w3+1;w4<=MAXWEIGHT;w4++) { if (w1+w2+w3+w4==TOTALWEIGHT) { if (weight(w1,w2,w3,w4)) { printf("w1=%d w2=%d w3=%d w4=%d/n",w1,w2,w3,w4); output(w1,w2,w3,w4); } } } } } } } //从1～40，不管哪个重量都要找到相应的砝码放置方法 //w1,w2,w3,w4分别为4个砝码的重量 bool CWeight::weight(int w1,int w2,int w3,int w4) { int w; //物体重量 //砝码只有4个，且每次称重时，这4个砝码只能出现0次或者1次 //出现时，砝码要么在物体盘，要么在砝码盘，要解该问题，转换思路 //假设砝码在物体盘，认定其出现-1次 //假设砝码在砝码盘，认定其出现1次 //若该次称重，不需要该砝码，认定其出现0次 //4个砝码在每次称重中出现的次数 int x1,x2,x3,x4; //只有-1，0，1这三种取值 int count=0; //找到的砝码组合个数 //对1～40中的每个重量，都要找到相应的砝码组合 //若有一个w(1<=w<=TOTALWEIGHT)没有找到相应的砝码组合，则表明该组砝码值不是所求 for (w=1;w<=TOTALWEIGHT;w++) { for (x1=-1;x1<=1;x1++) { for (x2=-1;x2<=1;x2++) { for (x3=-1;x3<=1;x3++) { for (x4=-1;x4<=1;x4++) { if (w1*x1+w2*x2+w3*x3+w4*x4==w) { count++; //找到该重量对应的砝码组合后，继续下一个重量 x1=x2=x3=x4=2; } } } } } } //如果找到所有的1~TOTALWEIGHT的砝码组合,则该组砝码值即为所求 if (count==TOTALWEIGHT) return true; else return false; } //输出1～40中每个重量对应的砝码组合（负数表示该砝码放在物体盘） void CWeight::output(int w1,int w2,int w3,int w4) { int w; //物体重量 int x1,x2,x3,x4; //只有-1，0，1这三种取值 //对1～TOTALWEIGHT中的每个重量，都要找到相应的砝码组合 for (w=1;w<=TOTALWEIGHT;w++) { for (x1=-1;x1<=1;x1++) { for (x2=-1;x2<=1;x2++) { for (x3=-1;x3<=1;x3++) { for (x4=-1;x4<=1;x4++) { if (w1*x1+w2*x2+w3*x3+w4*x4==w) { printf("w=%2d: ",w); if (x1!=0) printf("%d ",w1*x1); if (x2!=0) printf("%d ",w2*x2); if (x3!=0) printf("%d ",w3*x3); if (x4!=0) printf("%d ",w4*x4); printf("/n"); //继续下一个重量 x1=x2=x3=x4=2; } } } } } } } int main() { CWeight wei; wei.Calculate(); return 0; }
3. C#版
/************************************************************************ * 4个砝码，每个重量都是整数克，总重量为40克，放在天平上可以称出1～40克的 * 物体。求这4个砝码各多少克。 * C#版 ************************************************************************/ using System; using System.Collections.Generic; using System.Text; namespace Weight { class Program { //砝码总重量 const int TOTALWEIGHT = 40; //4个砝码,w1+w2+w3+w4=40,且w1,w2,w3,w4均为整数,假设不相等(假设w1<w2<w3<w4)故最大为34 const int MAXWEIGHT = 34; static void Main(string[] args) { int w1, w2, w3, w4; for (w1 = 1; w1 <= MAXWEIGHT; w1++) { for (w2 = w1 + 1; w2 <= MAXWEIGHT; w2++) { for (w3 = w2 + 1; w3 <= MAXWEIGHT; w3++) { for (w4 = w3 + 1; w4 <= MAXWEIGHT; w4++) { if (w1 + w2 + w3 + w4 == TOTALWEIGHT) { if (weight(w1, w2, w3, w4)) { System.Console.WriteLine("w1={0} w2={1} w3={2} w4={3} ", w1, w2, w3, w4); output(w1, w2, w3, w4); } } } } } } } //从1～40，不管哪个重量都要找到相应的砝码放置方法 //w1,w2,w3,w4分别为4个砝码的重量 static bool weight(int w1, int w2, int w3, int w4) { int w; //物体重量 //砝码只有4个，且每次称重时，这4个砝码只能出现0次或者1次 //出现时，砝码要么在物体盘，要么在砝码盘，要解该问题，转换思路 //假设砝码在物体盘，认定其出现-1次 //假设砝码在砝码盘，认定其出现1次 //若该次称重，不需要该砝码，认定其出现0次 //4个砝码在每次称重中出现的次数 int x1, x2, x3, x4; //只有-1，0，1这三种取值 int count = 0; //找到的砝码组合个数 //对1～40中的每个重量，都要找到相应的砝码组合 //若有一个w(1<=w<=TOTALWEIGHT)没有找到相应的砝码组合，则表明该组砝码值不是所求 for (w = 1; w <= TOTALWEIGHT; w++) { for (x1 = -1; x1 <= 1; x1++) { for (x2 = -1; x2 <= 1; x2++) { for (x3 = -1; x3 <= 1; x3++) { for (x4 = -1; x4 <= 1; x4++) { if (w1 * x1 + w2 * x2 + w3 * x3 + w4 * x4 == w) { count++; //找到该重量对应的砝码组合后，继续下一个重量 x1 = x2 = x3 = x4 = 2; } } } } } } //如果找到所有的1~TOTALWEIGHT的砝码组合,则该组砝码值即为所求 if (count == TOTALWEIGHT) return true; else return false; } //输出1～40中每个重量对应的砝码组合（负数表示该砝码放在物体盘） static void output(int w1, int w2, int w3, int w4) { int w; //物体重量 int x1, x2, x3, x4; //只有-1，0，1这三种取值 //对1～TOTALWEIGHT中的每个重量，都要找到相应的砝码组合 for (w = 1; w <= TOTALWEIGHT; w++) { for (x1 = -1; x1 <= 1; x1++) { for (x2 = -1; x2 <= 1; x2++) { for (x3 = -1; x3 <= 1; x3++) { for (x4 = -1; x4 <= 1; x4++) { if (w1 * x1 + w2 * x2 + w3 * x3 + w4 * x4 == w) { System.Console.Write("w={0}: ", w); if (x1 != 0) System.Console.Write("{0} ", w1 * x1); if (x2 != 0) System.Console.Write("{0} ", w2 * x2); if (x3 != 0) System.Console.Write("{0} ", w3 * x3); if (x4 != 0) System.Console.Write("{0} ", w4 * x4); System.Console.WriteLine(); //继续下一个重量 x1 = x2 = x3 = x4 = 2; } } } } } } } } }
4. 运行结果
说明：第一行表示4个砝码的质量分别为1，3，9，27
其他行，负数表示该砝码放在物体盘，正数表示该砝码放在砝码盘
w1=1 w2=3 w3=9 w4=27
w= 1: 1
w= 2: -1 3
w= 3: 3
w= 4: 1 3
w= 5: -1 -3 9
w= 6: -3 9
w= 7: 1 -3 9
w= 8: -1 9
w= 9: 9
w=10: 1 9
w=11: -1 3 9
w=12: 3 9
w=13: 1 3 9
w=14: -1 -3 -9 27
w=15: -3 -9 27
w=16: 1 -3 -9 27
w=17: -1 -9 27
w=18: -9 27
w=19: 1 -9 27
w=20: -1 3 -9 27
w=21: 3 -9 27
w=22: 1 3 -9 27
w=23: -1 -3 27
w=24: -3 27
w=25: 1 -3 27
w=26: -1 27
w=27: 27
w=28: 1 27
w=29: -1 3 27
w=30: 3 27
w=31: 1 3 27
w=32: -1 -3 9 27
w=33: -3 9 27
w=34: 1 -3 9 27
w=35: -1 9 27
w=36: 9 27
w=37: 1 9 27
w=38: -1 3 9 27
w=39: 3 9 27
w=40: 1 3 9 27