USACO 2.2.2 Subset Sums（母函数）
Subset Sums
JRM
For many sets of consecutive integers from 1 through N (1 <= N <= 39), one can partition the set into two sets whose sums are identical.
For example, if N=3, one can partition the set {1, 2, 3} in one way so that the sums of both subsets are identical:
{3} and {1,2}
This counts as a single partitioning (i.e., reversing the order counts as the same partitioning and thus does not increase the count of partitions).
If N=7, there are four ways to partition the set {1, 2, 3, ... 7} so that each partition has the same sum:
{1,6,7} and {2,3,4,5}
{2,5,7} and {1,3,4,6}
{3,4,7} and {1,2,5,6}
{1,2,4,7} and {3,5,6}
Given N, your program should print the number of ways a set containing the integers from 1 through N can be partitioned into two sets whose sums are identical. Print 0 if there are no such ways.
Your program must calculate the answer, not look it up from a table.
PROGRAM NAME: subset
INPUT FORMAT
The input file contains a single line with a single integer representing N, as above.
SAMPLE INPUT (file subset.in)
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OUTPUT FORMAT
The output file contains a single line with a single integer that tells how many same-sum partitions can be made from the set {1, 2, ..., N}. The output file should contain 0 if there are no ways to make a same-sum partition.
SAMPLE OUTPUT (file subset.out)
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题意：输入数字N，把1~N分成两个集合，使每个集合的和相等。
这题可以用DP解，也可以用母函数来做。初次接触母函数，就用这题练一下手了。
先来介绍一下母函数：
首先来看下这个多项式乘法：
(1+a1x)(1+a2x)…(1+anx)=1+(a1 +a2+an)x+(a1a2+a1a3+…+an-1an)x2+…+a1a1…anxn
由此可以看出:
1.x的系数是a1,a2,…an 的单个组合的全体。
2. x^2的系数是a1,a2,…a2的两个组合的全体。
………
n. x^n的系数是a1,a2,….an的n个组合的全体（只有1个）。
进一步得到：
(1+x)n=1+C(n,1)x+C(n,2)x2+…+C(n,n)xn
母函数的定义对于序列a0，a1，a2，…构造一函数：
G(x)=a0+a1x+a2x2+…称函数G(x)是序列a0，a1，a2，…的母函数。
第一种：
有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？
考虑用母函数来解决这个问题：
我们假设x表示砝码，x的指数表示砝码的重量，这样：
1个1克的砝码可以用函数1+1*x^1表示，
1个2克的砝码可以用函数1+1*x^2表示，
1个3克的砝码可以用函数1+1*x^3表示，
1个4克的砝码可以用函数1+1*x^4表示，
我们拿1+x^2来说，前面已经说过，x表示砝码，x的指数表示砝码的重量！初始状态时，这里就是一个质量为2的砝码。
那么前面的1表示什么？按照上面的理解，1其实应该写为：1*x^0,即1代表重量为2的砝码数量为0个。
所以这里1+1*x^2 = 1*x^0 + 1*x^2，即表示2克的砝码有两种状态，不取或取，不取则为1*x^0，取则为1*x^2
接着讨论上面的1+x^2，这里x前面的系数有什么意义？
这里的系数表示状态数(方案数)
1+x^2，也就是1*x^0 + 1*x^2，也就是上面说的不取2克砝码，此时有1种状态；或者取2克砝码，此时也有1种状态。
几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：
(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)=(1+x+x^2+x^4)(1+x^3+^4+x^7)
=1 + x + x^2 + 2*x^3 + 2*x^4 + 2*x^5 + 2*x^6 + 2*x^7 + x^8 + x^9 + x^10
从上面的函数知道：可称出从1克到10克，系数便是方案数。
例如右端有2^x^5 项，即称出5克的方案有2种：5=3+2=4+1；同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。
故称出6克的方案数有2种，称出10克的方案数有1种 。
第二种：
求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数：
大家把这种情况和第一种比较有何区别？第一种每种是一个，而这里每种是无限的。
G(x)=(1+x+x2+…)(1+x2+x4+…)(1+x3+x6+…)
以展开后的x^4为例，其系数为4，即4拆分成1、2、3之和的拆分方案数为4；
即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2
这个题目其实是第一种的一个模型，模拟(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)的计算过程就可以了。
源代码：
/*
ID: supersnow0622
PROG: subset
LANG: C++
*/
#include <iostream>
#include <fstream>
#include <string>
#include<memory.h>
using namespace std;
int half;
long long c1[500],c2[500],c[500];
int main() {
ofstream fout ("subset.out");
ifstream fin ("subset.in");
int N,sum;
fin>>N;
sum=(1+N)*N/2;
if(sum%2!=0)
fout<<0;
else
{
half=sum/2;
c1[0]=c1[1]=1;
for(int i=2;i<=N;i++)
{
memset(c2,0,sizeof(c2));
memset(c,0,sizeof(c));
c2[0]=c2[i]=1;
for(int j=0;j<=half;j++)
{
c[j+0]+=c1[j]*c2[0];
c[j+i]+=c1[j]*c2[i];
}
for(int k=0;k<=half;k++)
c1[k]=c[k];
}
fout<<c1[half]/2;
}
fout<<endl;
return 0;
}