从单侧置信区间推导单边假设检验

如果 θ 是待估计的参数, 而 (A,∞) 是对 θ 的单边95%置信区间（CI）。这里把 A 大写是强调它是随机变量, 而 θ 是常数。按照置信区间的含义，其有95%的概率包含 θ ，所以有 P(A<θ)=0.95 .

如果我们检验：

H0:θ=θ0H1:θ>θ0

如果 H0 为真, 有 P(A<θ0)=0.95 , 所以对于根据一个样本估计的 A 的具体值 a ：

if a<θ0 , 无法拒绝 H0 ;

if a≥θ0 , 拒绝 H0 .

其中拒绝域就是 {A≥θ0} 。

How to get p value?

我们仍然考虑上面的检验问题，如果我们获得了 a>θ0 ，我们可以在水平0.05上拒绝 H0 。但是，我们只知道 p<0.05 。也就是我们只知道 a 落在了拒绝域 a≥θ0 中。对具体的p值，我们不知道。

假设我们知道 A 的分布，因为 A 越大，就越不利于 H0 ，所以我们可以计算p值为 p=P(A≥a) 。

如果不知道 A 的分布，可以这样考虑：

对当前置信度 C=95% 的情况，如果a落在了拒绝域中，我们拒绝 H0 。假如我们增加 C ，打个比方到99%，使得 a 下降并恰好为 θ0 。我们记为 a99 。

我们考虑 C=99% 的CI的下界 A99 ，如果 H0 为真，则 P(A99<θ0)=0.99 。而拒绝域还是 {A99≥θ0} ，但是其概率为0.01了。那么现在，我们根据样本计算的 a99 ，刚好落在了拒绝域的下界上，所以p值：

p=P(A99≥a99)=P(A99≥θ0)=0.01

通过这种方法，我们可以计算精确的p值了。也就是通过增加置信度 C ，使得CI的下界A恰好为 θ0 。此时p值为 1−C 。