四边形不等式优化动态规划
先转下来，明天再看！
四边形不等式优化动态规划原理:
1.当决策代价函数w[i][j]满足w[i][j]+w[i’][j’]<=w[I;][j]+w[i][j’](i<=i’<=j<=j’)时,称w满足四边形不等式.当函数w[i][j]满足w[i’][j]<=w[i][j’] i<=i’<=j<=j’)时,称w关于区间包含关系单调.
2.如果状态转移方程m为 : m[i][j]=min {m[i][k-1]+m[k][j]+w[i][j]} , (i<k<=j),且决策代价w满足四边形不等式的单调函数(可以推导出m亦为满足四边形不等式的单调函数),则可利用四边形不等式推出最优决策s的单调函数性,从而减少每个状态的状态数,将算法的时间复杂度由原来的O(n^3)降低为O(n^2).方法是通过记录子区间的最优决策来减少当前的决策量.令:
s[i][j]=max{k | ma[i][j] = m[i][k-1] + m[k][j] + w[i][j]}
由于决策s具有单调性,因此状态转移方程可修改为:
m[i][j]=min {m[i][k-1]+m[k][j]+w[i][j]} , (s[i][j-1]<=k<=s[i+1][j])
证明过程: (转载)
设m[i,j]表示动态规划的状态量。
m[i,j]有类似如下的状态转移方程：
m[i,j]=opt{m[i,k]+m[k,j]}(i≤k≤j)
如果对于任意的a≤b≤c≤d，有m[a,c]+m[b,d]≤m[a,d]+m[b,c]，那么m[i,j]满足四边形不等式。
以上是适用这种优化方法的必要条件
对于一道具体的题目，我们首先要证明它满足这个条件，一般来说用数学归纳法证明，根据题目的不同而不同。
通常的动态规划的复杂度是O(n3)，我们可以优化到O(n2)
设s[i,j]为m[i,j]的决策量，即m[i,j]=m[i,s[i,j]]+m[s[i,j]+j]
我们可以证明，s[i,j-1]≤s[i,j]≤s[i+1,j] （证明过程见下）
那么改变状态转移方程为：
m[i,j]=opt{m[i,k]+m[k,j]} (s[i,j-1]≤k≤s[i+1,j])
复杂度分析：不难看出，复杂度决定于s的值，以求m[i,i+L]为例，
(s[2,L+1]-s[1,L])+(s[3,L+2]-s[2,L+1])…+(s[n-L+1,n]-s[n-L,n-1])=s[n-L+1,n]-s[1,L]≤n
所以总复杂度是O(n2)
对s[i,j-1]≤s[i,j]≤s[i+1,j]的证明：
设mk[i,j]=m[i,k]+m[k,j]，s[i,j]=d
对于任意k<d，有mk[i,j]≥md[i,j]（这里以m[i,j]=min{m[i,k]+m[k,j]}为例,max的类似），接下来只要证明mk[i+1,j]≥md[i+1,j]，那么只有当s[i+1,j]≥s[i,j]时才有可能有ms[i+1,j][i+1,j]≤md[i+1,j]
(mk[i+1,j]-md[i+1,j]) - (mk[i,j]-md[i,j])
=(mk[i+1,j]+md[i,j]) - (md[i+1,j]+mk[i,j])
=(m[i+1,k]+m[k,j]+m[i,d]+m[d,j]) - (m[i+1,d]+m[d,j]+m[i,k]+m[k,j])
=(m[i+1,k]+m[i,d]) - (m[i+1,d]+m[i,k])
∵m满足四边形不等式，∴对于i<i+1≤k<d有m[i+1,k]+m[i,d]≥m[i+1,d]+m[i,k]
∴(mk[i+1,j]-md[i+1,j])≥(mk[i,j]-md[i,j])≥0
∴s[i,j]≤s[i+1,j]，同理可证s[i,j-1]≤s[i,j]
证毕
扩展：
以上所给出的状态转移方程只是一种比较一般的，其实，很多状态转移方程都满足四边形不等式优化的条件。
解决这类问题的大概步骤是：
0.证明w满足四边形不等式，这里w是m的附属量，形如m[i,j]=opt{m[i,k]+m[k,j]+w[i,j]}，此时大多要先证明w满足条件才能进一步证明m满足条件
1.证明m满足四边形不等式
2.证明s[i,j-1]≤s[i,j]≤s[i+1,j]
pku 1160 Post Office 解题报告
题意: 给出m个村庄及其距离，给出n个邮局，要求怎么建n个邮局使代价最小.
算法:很显然用到动态规划,那么假设:
d[i…n],各邮局的坐标
w[i][j]表示在d[i][j]之间建立一个邮局的村庄为k,则k为i与j之和的一半(很显然在中间建一个邮局距离最小),那么
m[i][j]=min {m[i-1][k]+w[k+1][j]} , (i<=j , i-1<=k<=j-1)
m[i][j]为在前j个村庄建立i个邮局的最小距离和.
那么状态转移方程为:
边界条件: m[1][j]=w[1][j] (1<=j<=m)
状态转移方程: m[i][j]=min {m[i-1][k]+w[k+1][j]} , (i<=j , i-1<=k<=j-1)
那么思路则为:
for i=2 to p do //递推邮局数
{
//m:在前j个村庄建立i个邮局的最小距离和
for j=n dwonto i+1 do //按递减顺序枚举尾指针
m[i][j]=inf;
for k=1 to n do
{
temp = m[i-1][k]+calcw(k+1,j);
if(temp<m[i][j]) m[i][j]=temp;
}
}
这样时间复杂度显然为O(n^3),这是不能接受的.
仔细分析这dp算法,关键是决策变量k枚举数太多, 联系到四边形不等式原理,w[i][j]与m[i][j]很明显符合四边形不等式,我们假设决策变量s[i][j],如果在1到10的村庄中,建立1个邮局的最佳位置为8,那么在决定见多一个邮局的话,当然是在1到8之间了(根据四边形不等式原理猜想到),所以就在dp的过程中,用s[i][j]记录前i-1个邮局的村庄数. 那么我们第三次搜索的时候,就需要根据决策表s[i-1][j]<=k<=s[i][j+1]的范围内枚举.而可以证明s[i][j]具有单调性,那么我们就可以利用s[i][j]单调性限制了上下界然后把 O(n^3)弄成了 O(n^2)。
以sample为例:
状态方程m:
| 0 | |||||||||
| 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 9 | 21 | 37 | 43 | |
| 2 | 1 | 2 | 3 | 5 | 9 | 21 | 27 | ||
| 6 | 1 | 2 | 3 | 5 | 9 | 15 | |||
| 10 | 1 | 2 | 3 | 5 | 9 | ||||
| 16 | |||||||||
| 21 | |||||||||
| 37 | |||||||||
| 74 | |||||||||
| 117 |
决策表s:
| 0 | |||||||||
| 1 | 1 | 3 | 3 | 3 | 3 | 7 | 8 | 8 | |
| 2 | 3 | 3 | 5 | 5 | 7 | 8 | 8 | ||
| 3 | 3 | 5 | 5 | 7 | 8 | 8 | |||
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ||||
| 5 | |||||||||
| 6 | |||||||||
| 7 | |||||||||
| 8 | |||||||||
| 9 |
那么状态转移方程为:
边界条件: m[1][j]=w[1][j] (1<=j<=m)
边界条件: m[1][j]=w[1][j] (1<=j<=m)
状态转移方程: m[i][j]= min {m[i-1][k]+w[k+1][j]} , (i<=j , s[i-1][j]<=k<=s[i][j+1])
决策记录表: s[i][j]=k
AC代码:
#include <math.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#define M 305 //村庄数的上限
#define inf 1000000000 //无穷大
long coordinate[M]; //每个村庄的x坐标
long dp[M][M]; //dp[i][j]表在在前j个村庄建立i个邮局的最小距离和为dp[i][j];
long s[M][M]; //由s[i][j]记录使用前i-1个邮局的村庄数
long euclidean[M][M]; //村庄i与村庄j间的欧式距离为euclidean[i][j]=euclidean[i][j-1]+|coordinate[j]-coordinate[i]|
long n, p, answer;
int Calculation(long i, long j)
{
long k;
//可以证明,当仅建立一个邮局时,最优解出现在中位数
k = (i + j) / 2;
return euclidean[k][j] - euclidean[k][i - 1];
}
int main()
{
//freopen("1.txt", "r", stdin);
int i, j, k;
scanf("%ld%ld", &n, &p);
for (i = 1; i <= n; i++)
{
scanf("%ld", &coordinate[i]);
}
memset(euclidean, 0, sizeof(euclidean));
for (i = 1; i <= n; i++)
{
for (j = 1; j <= n; j++)
{
euclidean[i][j] = euclidean[i][j - 1] + abs(coordinate[j] - coordinate[i]);
}
}
memset(dp, 0, sizeof(dp));
for (i = 1; i <= n; i++)
{
//计算在前i个村庄建立1个邮局的最小距离和
dp[1][i] = Calculation(1, i);
}
for (i = 1; i <= n; i++)
{
//每个村庄建立一个邮局
s[i][i] = i - 1;
}
for (i = 2; i <= p; i++)
{
j = n;
dp[i][j] = inf;
/*在s[i-1][j]到j-1的范围内枚举k值,计算前k个村庄建立一个i-1个邮局、第k+1个村庄~第j个村庄建立一个
邮局的距离和.若该距离为目前最小,则记下方案.*/
//由于决策量s[i][j]的最大值并不包含j=n的情况,所以这里在进行一次dp
for (k = s[i - 1][j]; k <= j - 1; k++)
{
int temp = dp[i - 1][k] + Calculation(k + 1, j);
if (temp < dp[i][j])
{
dp[i][j] = temp;
s[i][j] = k;
}
}
//按递减顺序枚举尾指针
//决策量s[i][j]已经是缩短了搜索的范围
for (j = n - 1; j >= i + 1; j--)
{
dp[i][j] = inf;
/*在s[i-1][j]到s[i][j+1]的范围内枚举k值,计算前k个村庄建立一个i-1个邮局、第k+1个村庄~第j个村庄建立一个
邮局的距离和.若该距离为目前最小,则记下方案.*/
for (k = s[i - 1][j]; k <= s[i][j + 1]; k++)
{
int temp = dp[i - 1][k] + Calculation(k + 1, j);
if (temp < dp[i][j])
{
dp[i][j] = temp;
s[i][j] = k;
}
}
}
}
printf("%d/n", dp[p][n]);
return 0;
}
参考文献：《新篇实用算法分析与程序设计》