线性代数导论13——第一阶段总结

本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记。课程地址： http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html  

第十三课时：第一阶段总结

应该说第一阶段复习，本讲主要以一些精要例子来增强对概念的理解，还有一些重要的真命题。

题1：已知Ax和x，如下

1）求行向量的生成空间的维数

由已知可得A是3×3的矩阵，A的零空间的维数是2，可从通解中看到，所以行空间的维数是3-2=1

2）矩阵A是怎样的

由x为(2 0 0)可得，A的第一个列向量的两倍是(2 4 2)，得A的第一列为(1 2 1)，然后，一个矩阵的零空间包含（0 0 1），这说明矩阵的最后一列均为0，最后由零空间向量(1 1 0)可得A第二列为(-1 -2 -1)。

3）向量b满足什么条件时，Ax=b有解

很明显向量b在列空间时有解，所以实际上是在求列空间。

题2：如果方阵A的零空间只包含零向量，那它的转置矩阵的零空间也只包含零向量。（由行空间的维数和列空间的维数相等可推出)

题3：如下矩阵B，在没做乘法之前完成以下问题：

1）B的零空间的基是什么？

左边是可逆矩阵，如果C是可逆矩阵的话，那么零空间N(CD)=N(D)，零空间不会因为C而改变。那么B的零空间可有由右侧矩阵得出。

2）求解Bx=(1 0 1)的通解，只要得到特解和零空间就可得到通解=Xp+Xn

因为B的第一列和b（1 0 1）是一样的，所以可以得到一个特解（1 0 0 0），加上（1）得到的零空间即可。

题4：如果矩阵A,B的四个基本子空间都一样，那么是否有A=cB，c是常数。否，如果A和B都是由4×4的线性无关的列向量组成。那么A,B都是满秩，四个基本子空间都一样。

题5： 如果交换一个矩阵中的两行，行空间和零空间不变，列空间和左零空间改变。

题6：为什么向量v=（1 2 3）不能同时为一个矩阵的行向量和零空间的一个向量，即v为什么不能同时存在于行空间和零空间。 行空间和零空间的交集只有零向量。实际上，零空间与行空间正交。