convex hull

来自：http://baike.baidu.com/view/707209.htm

概念

　　

  

1.1 点集Q的凸包(convex hull)是指一个最小凸多边形，满足Q中的点或者在多边形边上或者在其内。右图中由红色线段表示的多边形就是点集Q={p0,p1,...p12}的凸包。

　　1.2 一组平面上的点，求一个包含所有点的最小的凸多边形，这就是凸包问题了。这可以形象地想成这样：在地上放置一些不可移动的木桩，用一根绳子把他们尽量紧地圈起来，这就是凸包了。

平面凸包求法

常见求法

　　       

2.0 Graham's Scan法求解凸包问题

　　概念

　　凸包(Convex Hull)是一个计算几何（图形学）中的概念。用不严谨的话来讲，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边型，它能包含点集中所有点的。严谨的定义和相关概念参见维基百科：凸包。

　　这个算法是由数学大师葛立恒(Graham)发明的，他曾经是美国数学学会(AMS)主席、AT&T首席科学家以及国际杂技师协会(IJA)主席。（太汗了，这位大牛还会玩杂技~）

　　问题

　　给定平面上的二维点集，求解其凸包。

　　过程

　　1. 在所有点中选取y坐标最小的一点H，当作基点。如果存在多个点的y坐标都为最小值，则选取x坐标最小的一点。坐标相同的点应排除。然后按照其它各点p和基点构成的向量<H,p>与x轴的夹角进行排序，夹角由大至小进行顺时针扫描，反之则进行逆时针扫描。实现中无需求得夹角，只需根据向量的内积公式求出向量的模即可。以下图为例，基点为H，根据夹角由小至大排序后依次为H，K，C，D，L，F，G，E，I，B，A，J。下面进行逆时针扫描。

　　2. 线段<H, K>一定在凸包上，接着加入C。假设线段<K, C>也在凸包上，因为就H，K，C三点而言，它们的凸包就是由此三点所组成。但是接下来加入D时会发现，线段<K, D>才会在凸包上，所以将线段<K, C>排除，C点不可能是凸包。

　　3. 即当加入一点时，必须考虑到前面的线段是否会出现在凸包上。从基点开始，凸包上每条相临的线段的旋转方向应该一致，并与扫描的方向相反。如果发现新加的点使得新线段与上线段的旋转方向发生变化，则可判定上一点必然不在凸包上。实现时可用向量叉积进行判断，设新加入的点为pn + 1，上一点为pn，再上一点为pn - 1。顺时针扫描时，如果向量<pn - 1, pn>与<pn, pn + 1>的叉积为正（逆时针扫描判断是否为负），则将上一点删除。删除过程需要回溯，将之前所有叉积符号相反的点都删除，然后将新点加入凸包。

　　在上图中，加入K点时，由于线段<H,K>相对于<H,C>为顺时针旋转，所以C点不在凸包上，应该删除，保留K点。接着加入D点，由于线段<K, D>相对<H, K>为逆时针旋转，故D点保留。按照上述步骤进行扫描，直到点集中所有的点都遍例完成，即得到凸包。

　　复杂度

　　这个算法可以直接在原数据上进行运算，因此空间复杂度为O(1)。但如果将凸包的结果存储到另一数组中，则可能在代码级别进行优化。由于在扫描凸包前要进行排序，因此时间复杂度至少为快速排序的O(nlgn)。后面的扫描过程复杂度为O(n)，因此整个算法的复杂度为O(nlgn)。

　　2.1　凸包最常用的凸包算法是Graham扫描法和Jarvis步进法。

　　对于一个有三个或以上点的点集Q，过程如下：

　　计算点集最右边的点为凸包的顶点的起点，如上图的P3点。

　　Do

　　For i = 0 To 总顶点数

　　计算有向向量P3->Pi

　　If 其余顶点全部在有向向量P3->Pi的左侧或右侧，则Pi点为凸包的下一顶点

　　Pi点加入凸包列表

　　GoTo 1

　　End If

　　Next

　　Exit Do

　　1:

　　Loop

　　此过程执行后，点按极角自动顺时针或逆时针排序，只需要按任意两点的次序就可以了。而左侧或右侧的判断可以用前述的矢量点积性质实现。

特殊算法

　　2.2　求凸包有很多方法，不过最适合OIer和ACMer的估计还是Graham's Scan这个方法了。它的大致方法是这样的： 首先，找到所有点中最左边的（y坐标最小的），如果y坐标相同，找x坐标最小的；以这个点为基准求所有点的极角（atan2(y-y0,x-x0)），并按照极角对这些点排序，前述基准点在最前面，设这些点为P[0]..P[n-1]；建立一个栈，初始时P[0]、P[1]、P[2]进栈，对于P[3..n-1]的每个点，若栈顶的两个点与它不构成“向左转”的关系，则将栈顶的点出栈，直至没有点需要出栈以后将当前点进栈；所有点处理完之后栈中保存的点就是凸包了。

　　如何判断A、B、C构成的关系不是向左转呢？如果b-a与c-a的叉乘小于0就不是。a与b的叉乘就是a.x*b.y-a.y*b.x。

　　上面的这个Graham的实现比我原来按照USACO里的课文写得简单多了，主要是它通过简单的预处理保证了P[0]、P[1]以及P[n-1]肯定是凸包里的点，这样就可以避免在凸包“绕回来”的时候繁杂的处理。

中心法

　　先构造一个中心点，然后将它与各点连接起来，按斜率递增的方法，求出凸包上部；再按斜率递减的方法，求出凸包下部。

水平法

　　从最左边的点开始，按斜率递增的方法，求出凸包上部；再按斜率递减的方法，求出凸包下部。水平法较中心法减少了斜率无限大的可能，减少了代码的复杂度。

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
struct point
{
   int x;
   int y;
} p[30005], res[30005];  //p标记图中所有的点，res标记凸包上的点
int cmp(point p1, point p2)
{
	  return p1.y < p2.y || (p1.y == p2.y && p1.x < p2.x);
}
bool ral(point p1, point p2, point p3) //用叉乘判断点的位置
{
    return (p2.x - p1.x)*(p3.y - p1.y) > (p3.x - p1.x)*(p2.y - p1.y);
}
int main()
{

    int n, i;
    while(scanf("%d", &n) != EOF) //一共有n个点
	{
		for(i = 0; i < n; i++)
			scanf("%d%d", &p[i].x, &p[i].y);
		 if(n == 1)
		 {
			 printf("%d %d\n", p[0].x, p[0].y);
			 continue;
		 }
	    if(n == 2)
		{
			printf("%d %d\n", p[0].x, p[0].y);
			printf("%d %d\n", p[1].x, p[1].y);
			continue;
		}
		sort(p, p + n, cmp);
        res[0] = p[0];
		int top = 1;
		for(i = 2; i < n; i++)
		{
			while(top && !ral(res[top], res[top - 1], p[i]))
				top--;
			res[++top] = p[i];
		}
	    int len = top;
	    res[++top] = p[n - 2];
	    for(i = n - 3; i >= 0; i--)
		{
			while(top != len && !ral(res[top], res[top - 1], p[i]))
				top--;
			res[++top] = p[i];
		}
        for(i = 0; i < top; i++)
			printf("%d %d\n", res[i].x, res[i].y);  //输出凸包上的点
	}
    return 0;
}

输入图片：

来自百度百科： 写的不错哦~~哈哈，多谢小编~http://baike.baidu.com/view/707209.htm