Algorlthm gosslp:八皇后问题浅谈

                                                                      八皇后

       8*8的棋盘上放八个皇后棋子，要求在纵行，竖行和斜行的八个方向上都不能有两个以上的皇后。1970和1971年，E.W.Dijkstra与N.Wirth曾用这个问题讲解程序设计技巧，淡然，像我这码农级程序员很难理解怎样应用到程序设计技巧中，现阶段只管理解问题的解决方法。

       八皇后问题主要使用递归求解，然而如何减少递归次数呢？

        在每次递归时，不必要所有的都检查过，例如若某列检查过，该列的其他格子就不在检查了，这个方法称为分支修剪。

        程序中风别在横竖八个地方和斜方向15个地方做了标记，若有皇后则递归返回。本人觉得斜方向的标记控制和递归的调用时问题的精华。

        C语言实现：

#include<stdio.h> #include<stdlib.h> #define N 8 int column[N+1]; int rup[2*N+1]; int lup[2*N+1]; int queen[N+1]={0}; int num; void backtrack(int); int main(void){ int i; num = 0; 

 for(i=1;i<=N;i++) 

 column[i] = 1; for(i=1;i<=2*N;i++) rup[i] = lup[i] =1; backtrack(1); return 0; } void showAnswer(){ int x,y; printf("\n解答%d\n",++num); for(y=1;y<=N;y++){ for(x=1;x<=N;x++){ if(queen[y]==x){ printf(" Q"); }else{ printf(" ."); } } printf("\n"); } } void backtrack(int i){ int j; if(i>N){ showAnswer(); }else{ for(j= 1;j<=N;j++){ if(column[j] == 1&&lup[i-j+N] == 1){ queen[i] = j; column[j] = rup[i+j] = lup[i-j+N] = 0; backtrack(i+1); column[j] = rup[i+j] = lup[i-j+N] = 1; } } } } 

问题描述：

                                          

八皇后问题是大数学家高斯于1850年提出来的。该问题是在8×8的国际象棋棋盘上放置8个皇后，使得没有一个皇后能“吃掉”任何其他一个皇后，即没有任何两个皇后被放置在棋盘的同一行、同一列或同一斜线上。

                           

要求：

                             

编一个程序求出该问题的所有解。

                            

算法思想：

                            

回溯法

                            

使用回溯算法求解的问题特征，求解问题要分为若干步，且每一步都有几种可能的选择，而且往往在某个选择不成功时需要回头再试另外一种选择，如果到达求解目标则每一步的选择构成了问题的解，如果回头到第一步且没有新的选择则问题求解失败。

该问题也可扩展到N后问题求解，只需修改程序main函数中的n值即可。

                            

代码如下：

 

/************************************************************************
 *  n后问题求解
 ************************************************************************/

#include  < stdio.h >
#include  < stdlib.h >
#include  < math.h >
#include  < conio.h >

#define  MAXNUMBER 20

// 判断当前得到的解向量是否满足问题的解
bool  place_queen( int  x[], int  k)
{
    int i;
    for(i=1;i<k;i++)
    {
        if((x[i]==x[k]) || (abs(x[i]-x[k])==abs(i-k)))
            return false;
    }

    return true;
}

// 将结果简单信息打印到屏幕
void  output_queens( int  x[], int  n)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        printf("%3d",x[i]);

    printf("");
}

// 将结果详细信息写入文件
void  output_queens(FILE  * fp, int  number, int  x[], int  n)
{
    fprintf(fp,"solution %d:",number);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(j==x[i])
                fprintf(fp,"1  ");
            else
                fprintf(fp,"0  ");
        }
        fprintf(fp,"");
    }
    fprintf(fp,"");
}

/************************************************************************
 *  n后问题求解
 *  input  : n, the number of queens
 *  output : the vector of solution, X
 ************************************************************************/
int  n_queens(FILE  * fp, int  n, int  x[])
{
    int nCount=0;    //解个数
    int k=1;        //先处理第1个皇后
    x[1]=0;

    while(k>0)
    {
        x[k]=x[k]+1;//在当前列加1的位置开始搜索

        while(x[k]<=n && !place_queen(x,k))    //当前列位置是否满足条件
            x[k]=x[k]+1;    //不满足,继续搜索下一列位置

        if(x[k]<=n)    //若存在满足条件的列
        {
            if(k==n)//是最后一个皇后，则得到一个最终解
            {
                //break;    //此处若break,则只能得到一个解
                nCount++;
                output_queens(x,n);    //输出
                output_queens(fp,nCount,x,n);
            }
            else    //否则，处理下一个皇后,即第 k+1 个皇后
            {
                k++;
                x[k]=0;
            }
        }
        else        //若不存在满足条件的列,则回溯
        {
            x[k]=0;    //第k个皇后复位为0
            k--;    //回溯到前一个皇后
        }
    }

    return nCount;
}

int  main()
{
    int n=8,x[MAXNUMBER]={0};

    FILE *fp=fopen("8皇后问题的解.txt","w");
    if(fp==NULL)
    {
        printf("can not wirte file!");
        exit(0);
    }

    printf("the queens are placed on the coloums :");
    //求解并写入文件
    int nCount=n_queens(fp,n,x);
    printf("there are %d solutions!",nCount);
    fclose(fp);
    getch();    

    return 0;
}

与其他方法对比：

 

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define max 8
int queen[max], sum=0; /* max为棋盘最大坐标 */

void show() /* 输出所有皇后的坐标 */
{
    int i;
    printf("(");
    for(i = 0; i < max; i++)
    {
         printf(" %d", queen[i]);
    }
    printf(")\n");
    sum++;
}
 
int PLACE(int n) /* 检查当前列能否放置皇后 */
{
    int i;
    for(i = 0; i < n; i++) /* 检查横排和对角线上是否可以放置皇后 */
    {
        if(queen[i] == queen[n] || abs(queen[i] - queen[n]) == (n - i))
        {
            return 1;
        }
    }
    return 0;
}
 
void NQUEENS(int n) /* 回溯尝试皇后位置,n为横坐标 */
{
    int i;
    for(i = 0; i < max; i++)
    {       
        queen[n] = i; /* 将皇后摆到当前循环到的位置 */
        if(!PLACE(n))
        {           
            if(n == max - 1)
            {
                show(); /* 如果全部摆好，则输出所有皇后的坐标 */
            }         
            else
            {
                NQUEENS(n + 1); /* 否则继续摆放下一个皇后 */
            }
        }
    }
}
 
int main()
{
    NQUEENS(0); /* 从横坐标为0开始依次尝试 */
    printf("%d", sum);
    system("pause");
    return 0;
}