整数划分算法原理与实现

整数划分算法原理与实现

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    整数划分问题是将一个正整数n拆成一组数连加并等于n的形式，且这组数中的最大加数不大于n。
    如6的整数划分为
   
    6
    5 + 1
    4 + 2, 4 + 1 + 1
    3 + 3, 3 + 2 + 1, 3 + 1 + 1 + 1
    2 + 2 + 2, 2 + 2 + 1 + 1, 2 + 1 + 1 + 1 + 1
    1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
   
    共11种。下面介绍一种通过递归方法得到一个正整数的划分数。
   
    递归函数的声明为 int split(int n, int m);其中n为要划分的正整数，m是划分中的最大加数(当m > n时，最大加数为n)，
    1 当n = 1或m = 1时，split的值为1，可根据上例看出，只有一个划分1 或 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
    可用程序表示为if(n == 1 || m == 1) return 1;
   
    2 下面看一看m 和 n的关系。它们有三种关系
    (1) m > n
    在整数划分中实际上最大加数不能大于n，因此在这种情况可以等价为split(n, n);
    可用程序表示为if(m > n) return split(n, n);   
    (2) m = n
    这种情况可用递归表示为split(n, m - 1) + 1，从以上例子中可以看出，就是最大加
    数为6和小于6的划分之和
    用程序表示为if(m == n) return (split(n, m - 1) + 1);
    (3) m < n
    这是最一般的情况，在划分的大多数时都是这种情况。
    从上例可以看出，设m = 4，那split(6, 4)的值是最大加数小于4划分数和整数2的划分数的和。
    因此，split(n, m)可表示为split(n, m - 1) + split(n - m, m)
   
    根据以上描述，可得源程序如下：
  

#include  < stdio.h >

    int  split( int  n,  int  m)
   {
       if (n  <   1   ||  m  <   1 )  return   0 ;
       if (n  ==   1   ||  m  ==   1 )  return   1 ;
       if (n  <  m)  return  split(n, n);
       if (n  ==  m)  return  (split(n, m  -   1 )  +   1 );
       if (n  >  m)  return  (split(n, m  -   1 )  +  split((n  -  m), m));
  }

int  main()
{
     printf( " 12的划分数: %d " , split( 12 ,  12 ));
     return   0 ;
}

将正整数划分成连续的正整数之和
如15可以划分成4种连续整数相加的形式：
15
7 8
4 5 6
1 2 3 4 5

    首先考虑一般的形式，设n为被划分的正整数，x为划分后最小的整数，如果n有一种划分，那么
结果就是x,如果有两种划分，就是x和x x + 1， 如果有m种划分，就是 x 、x x + 1 、 x x + 1 x + 2 、... 、x x + 1 x + 2 ... x + m - 1
将每一个结果相加得到一个公式(i * x + i * (i - 1) / 2) = n，i为当前划分后相加的正整数个数。
满足条件的划分就是使x为正整数的所有情况。
如上例，当i = 1时，即划分成一个正整数时，x = 15， 当i = 2时， x = 7。
当x = 3时，x = 4， 当x = 4时，4/9，不是正整数，因此，15不可能划分成4个正整数相加。
当x = 5时，x = 1。

    这里还有一个问题，这个i的最大值是多少？不过有一点可以肯定，它一定比n小。我们可以做一个假设，
假设n可以拆成最小值为1的划分，如上例中的1 2 3 4 5。这是n的最大数目的划分。如果不满足这个假设，
那么 i 一定比这个划分中的正整数个数小。因此可以得到这样一个公式i * (i + 1) / 2 <= n，即当i满足
这个公式时n才可能被划分。

综合上述，源程序如下

int  split1( int  n)
{
     int  i, j, m  =   0 , x, t1, t2;
    //  在这里i + 1之所以变为i - 1，是因为i * (i - 1) / 2这个式子在下面多次用到，
   //  为了避免重复计算，因此将这个值计算完后保存在t1中。并且将<= 号变为了<号。
     for (i  =   1 ; (t1  =  i  *  (i  -   1 )  /   2 )  <  n; i ++ ) 
    {
        t2  =  (n  -  t1);
        x  =   t2  /  i;
         if (x  <=   0 )  break ;
         if ((n  -  t1)  %  i  ==   0 )
        {
            printf( " %d  " , x);
             for (j  =   1 ; j  <  i; j ++ )
                printf( " %d  " , x  +  j);
            printf( " \n " );
            m ++ ;
        }
    }
     return  m;
}

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