0043算法笔记——【随机化算法】解非线性方程组
问题描述
求解下面的非线性方程组
其中，x1,x2,…,xn是实变量，fi是未知量x1,x2,…,xn的非线性实函数。要求确定上述方程组在指定求根范围内的一组解
。
问题分析
解决这类问题有多种数值方法，如：牛顿法、拟牛顿法、粒子群算法等。最常用的有线性化方法和求函数极小值方法。为了求解所给的非线性方程组，构造一目标函数
式中，x=(x1,x2,……xn)。易知，上式取得极小值点即是所求非线性方程组的一组解。
求解思路
在指定求根区域D内，选定一个随机点x0作为随机搜索的出发点。在算法的搜索过程中，假设第j步随机搜索得到的随机搜索点为xj。在第j+1步，计算出下一步的随机搜索增量dxj。从当前点xj依dxj得到第j+1步的随机搜索点。当x<
时，取为所求非线性方程组的近似解。否则进行下一步新的随机搜索过程。
题外话：笔者在读王晓东《算法设计与分析》中这一节时，发现书上所给的代码似乎有些问题。在这里指出，如果提得不对，还请大侠们拍砖。书中给出的代码具体如下：
bool nonlinear(double *x0,double *dx0, double *x,double a0,
double epsilon, double k,int n, int steps,int m)
{
static randomnumber rad;
bool success;
double *dx, *r;
dx=new double[n+1];
r=new double[n+1];
int mm=0;
int j=0;
double a=a0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
x[i]=x0[i];
dx[i]=dx0[i];
}
double fx=f(x,n);
double min=fx;
while ((min>epsilon)&&(j<steps))
{
if(fx<min)
{
min=fx;
a*=k;
success=true;
}
else
{
mm++;
if (mm>m)a/=k;
success=false;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
r[i]=2.0*rnd.fRandom()-1;
if(success)
for(int i=1;i<n;i++)
dx[i]=a*r[i];
else
for (int i=1;i<n;i++)
dx[i]=a*r[i]-dx[i];
for (int i=1;i<n;i++)
x[i]+=dx[i];
fx=f(x,n);
}
if(fx<=epsilon)
return ture;
else
return false;
}
问题1：
while ((min>epsilon)&&(j<steps))句中，循环控制变量j<steps，但在循环体中，j没有自加，while循环永远不会结束。
问题2：在循环体结束时，有赋值语句：fx=f(x,n); 笔者发现如果此时fx<epsilon时，程序while循环体会继续执行，到while开始几句是会更新min的值，可循环不会跳出，而会继续往下执行，更新数组x的值，重新计算目标函数f(x)。这样即时程序找到方程的解，也不会停下来。
笔者纠正后具体程序如下：
//随机化算法 解线性方程组
#include "stdafx.h"
#include "RandomNumber.h"
#include <iostream>
using namespace std;
bool NonLinear(double *x0,double *dx0,double *x,double a0,
double epsilon,double k,int n,int Steps,int M);
double f(double *x,int n);
int main()
{
double *x0, //根初值
*x, //根
*dx0, //增量初值
a0 = 0.0001, //步长
epsilon = 0.01, //精度
k = 1.1; //步长变参
int n = 2, //方程个数
Steps = 10000, //执行次数
M = 1000; //失败次数
x0 = new double[n+1];
dx0 = new double[n+1];
x = new double[n+1];
//根初值
x0[1] = 0.0;
x0[2] = 0.0;
//增量初值
dx0[1] = 0.01;
dx0[2] = 0.01;
cout<<"原方程组为："<<endl;
cout<<"x1-x2=1"<<endl;
cout<<"x1+x2=3"<<endl;
cout<<"此方程租的根为："<<endl;
bool flag = NonLinear(x0,dx0,x,a0,epsilon,k,n,Steps,M);
while(!flag)
{
flag = NonLinear(x0,dx0,x,a0,epsilon,k,n,Steps,M);
}
for(int i=1; i<=n; i++)
{
cout<<"x"<<i<<"="<<x[i]<<" ";
}
cout<<endl;
return 0;
}
//解非线性方程组的随机化算法
bool NonLinear(double *x0,double *dx0,double *x,double a0,
double epsilon,double k,int n,int Steps,int M)
{
static RandomNumber rnd;
bool success; //搜索成功标志
double *dx,*r;
dx = new double[n+1]; //步进增量向量
r = new double[n+1]; //搜索方向向量
int mm = 0; //当前搜索失败次数
int j = 0; //迭代次数
double a = a0; //步长因子
for(int i=1; i<=n; i++)
{
x[i] = x0[i];
dx[i] = dx0[i];
}
double fx = f(x,n); //计算目标函数值
double min = fx; //当前最优值
while(j<Steps)
{
//(1)计算随机搜索步长
if(fx<min)//搜索成功
{
min = fx;
a *= k;
success = true;
}
else//搜索失败
{
mm++;
if(mm>M)
{
a /= k;
}
success = false;
}
if(min<epsilon)
{
break;
}
//(2)计算随机搜索方向和增量
for(int i=1; i<=n; i++)
{
r[i] = 2.0 * rnd.fRandom()-1;
}
if(success)
{
for(int i=1; i<=n; i++)
{
dx[i] = a * r[i];
}
}
else
{
for(int i=1; i<=n; i++)
{
dx[i] = a * r[i] - dx[i];
}
}
//(3)计算随机搜索点
for(int i=1; i<=n; i++)
{
x[i] += dx[i];
}
//(4)计算目标函数值
fx = f(x,n);
j++;
}
if(fx<=epsilon)
{
return true;
}
else
{
return false;
}
}
double f(double *x,int n)
{
return (x[1]-x[2]-1)*(x[1]-x[2]-1)
+(x[1]+x[2]-3)*(x[1]+x[2]-3);
}
程序运行结果如图：
