尼姆博奕（Nimm Game）

尼姆博奕（Nimm Game）：有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的
物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

    这种情况最有意思，它与二进制有密切关系，我们用（a，b，c）表示某种局势，首先（0，0，0）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是
（0，n，n），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）。仔细分析一下，（1，2，3）也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都可以变为（0，n，n）的情
形。

    计算机算法里面有一种叫做按位模2加，也叫做异或的运算，我们用符号（+）表示这种运算。这种运算和一般加法不同的一点是1+1=0。先看（1，2，3）的按位模2加的结
果：

1 =二进制01
2 =二进制10
3 =二进制11 （+）
———————
0 =二进制00 （注意不进位）

    对于奇异局势（0，n，n）也一样，结果也是0。

    任何奇异局势（a，b，c）都有a（+）b（+）c =0。

如果我们面对的是一个非奇异局势（a，b，c），要如何变为奇异局势呢？假设 a < b< c,我们只要将 c 变为 a（+）b,即可,因为有如下的运算结果: a（+）b（+）(a（+）
b)=(a（+）a)（+）(b（+）b)=0（+）0=0。要将c 变为a（+）b，只要从 c中减去 c-（a（+）b）即可。

    例1。（14，21，39），14（+）21=27，39-27=12，所以从39中拿走12个物体即可达
到奇异局势（14，21，27）。

    例2。（55，81，121），55（+）81=102，121-102=19，所以从121中拿走19个物品
就形成了奇异局势（55，81，102）。

    例3。（29，45，58），29（+）45=48，58-48=10，从58中拿走10个，变为（29，4
5，48）。

    例4。我们来实际进行一盘比赛看看：
        甲:(7,8,9)->(1,8,9)奇异局势
        乙:(1,8,9)->(1,8,4)
        甲:(1,8,4)->(1,5,4)奇异局势
        乙:(1,5,4)->(1,4,4)
        甲:(1,4,4)->(0,4,4)奇异局势
        乙:(0,4,4)->(0,4,2)
        甲:(0.4,2)->(0,2,2)奇异局势
        乙:(0,2,2)->(0,2,1)
        甲:(0,2,1)->(0,1,1)奇异局势
        乙:(0,1,1)->(0,1,0)
        甲:(0,1,0)->(0,0,0)奇异局势
        甲胜。

 

题目1：今有若干堆火柴，两人依次从中拿取，规定每次只能从一堆中取若干根，  
可将一堆全取走，但不可不取，最后取完者为胜，求必胜的方法。  
题目2：今有若干堆火柴，两人依次从中拿取，规定每次只能从一堆中取若干根，  
可将一堆全取走，但不可不取，最后取完者为负，求必胜的方法。

嘿嘿，这个游戏我早就见识过了。小时候用珠算玩这个游戏：第一档拨一个，第二档拨两个，依次直到第五档拨五个。然后两个人就轮流再把棋子拨下来，谁要是最后一个拨谁就赢。有一次暑假看见两个小孩子在玩这个游戏，我就在想有没有一个定论呢。下面就来试着证明一下吧

先解决第一个问题吧。

定义：若所有火柴数异或为0，则该状态被称为利他态，用字母T表示；否则，  
为利己态，用S表示。

[定理1]：对于任何一个S态，总能从一堆火柴中取出若干个使之成为T态。

证明：

    若有n堆火柴，每堆火柴有A(i)根火柴数，那么既然现在处于S态，

       c = A(1) xor A(2) xor … xor A(n) > 0;

    把c表示成二进制，记它的二进制数的最高位为第p位，则必然存在一个A(t),它二进制的第p位也是1。（否则，若所有的A(i)的第p位都是0，这与c的第p位就也为0矛盾）。

    那么我们把x = A(t) xor c,则得到x < A(t).这是因为既然A(t)的第p位与c的第p位同为1,那么x的第p位变为0,而高于p的位并没有改变。所以x < A(t).而

     A(1) xor A(2) xor … xor x xor … xor A(n)

   = A(1) xor A(2) xor … xor A(t) xor c xor … xor A(n)

   = A(1) xor A(2) xor… xor A(n) xor A(1) xor A(2) xor … xor A(n)

   = 0

这就是说从A(t)堆中取出 A(t) - x 根火柴后状态就会从S态变为T态。证毕

[定理2]：T态，取任何一堆的若干根，都将成为S态。

证明：用反证法试试。

      若

       c = A(1) xor A(2) xor … xor A(i) xor … xor A(n) = 0；

       c' = A(1) xor A(2) xor … xor A(i') xor c xor … xor A(n) = 0;

      则有

c xor c' = A(1) xor A(2) xor … xor A(i) xor … xor A(n) xor A(1) xor A(2) xor … xor A(i') xor c xor … xor A(n) = A(i) xor A(i') =0

      进而推出A(i) = A(i')，这与已知矛盾。所以命题得证。

[定理 3]：S态，只要方法正确，必赢。  
   最终胜利即由S态转变为T态，任何一个S态，只要把它变为T态，（由定理1，可以把它变成T态。）对方只能把T态转变为S态(定理2)。这样，所有S态向T态的转变都可以有己方控制，对方只能被动地实现由T态转变为S态。故S态必赢。
[定理4]：T态，只要对方法正确，必败。  
   由定理3易得。  

接着来解决第二个问题。

定义：若一堆中仅有1根火柴，则被称为孤单堆。若大于1根，则称为充裕堆。

定义：T态中，若充裕堆的堆数大于等于2，则称为完全利他态，用T2表示；若充裕堆的堆数等于0，则称为部分利他态，用T0表示。

  
孤单堆的根数异或只会影响二进制的最后一位，但充裕堆会影响高位（非最后一位）。一个充裕堆，高位必有一位不为0，则所有根数异或不为0。故不会是T态。

[定理5]：S0态，即仅有奇数个孤单堆，必败。T0态必胜。  
证明：

S0态，其实就是每次只能取一根。每次第奇数根都由己取，第偶数根都由对  
方取，所以最后一根必己取。败。同理,   T0态必胜#

[定理6]：S1态，只要方法正确，必胜。  
证明：

若此时孤单堆堆数为奇数，把充裕堆取完；否则，取成一根。这样，就变成奇数个孤单堆，由对方取。由定理5，对方必输。己必胜。   #  

[定理7]：S2态不可转一次变为T0态。  
证明：

充裕堆数不可能一次由2变为0。得证。   #  

[定理8]：S2态可一次转变为T2态。  
证明：

由定理1，S态可转变为T态，态可一次转变为T态，又由定理6，S2态不可转一次变为T0态，所以转变的T态为T2态。   #  

[定理9]：T2态，只能转变为S2态或S1态。  
证明：

由定理2，T态必然变为S态。由于充裕堆数不可能一次由2变为0，所以此时的S态不可能为S0态。命题得证。  
[定理10]：S2态，只要方法正确，必胜.  
证明：

方法如下：  
      1）   S2态，就把它变为T2态。（由定理8）  
      2）   对方只能T2转变成S2态或S1态（定理9）
    若转变为S2,   转向1）  
    若转变为S1,   这己必胜。（定理5）  
[定理11]：T2态必输。  
证明：同10。  
综上所述，必输态有：   T2,S0  
           必胜态：    S2,S1,T0.  
两题比较：  
第一题的全过程其实如下：  
S2->T2->S2->T2->   ……   ->T2->S1->T0->S0->T0->……->S0->T0(全0)  
第二题的全过程其实如下：  
S2->T2->S2->T2->   ……   ->T2->S1->S0->T0->S0->……->S0->T0(全0)  
下划线表示胜利一方的取法。   是否发现了他们的惊人相似之处。  
我们不难发现(见加黑部分)，S1态可以转变为S0态（第二题做法），也可以转变为  
T0（第一题做法）。哪一方控制了S1态，他即可以有办法使自己得到最后一根（转变为  
T0）,也可以使对方得到最后一根（转变为S0）。  
   所以，抢夺S1是制胜的关键！  
   为此，始终把T2态让给对方，将使对方处于被动状态，他早晚将把状态变为S1.

 

推荐HDOJ题目
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1907
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2509
看完上面的结论，就能顺利解决上面2道了

 

 

S-Nim
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1536
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1944

 

 

 

博弈算法入门小节 1536 1517 1907
小子最近迷途于博弈之中。。。感触颇深。
为了让大家能够在学习博弈的时候少走弯路，最重要的也是为了加深自己的影响，温故而知新，特发此贴与大家共勉。
学博弈先从概念开始：
特别推荐LCY老师的课件：博弈入门。
下载地址：http://acm.hdu.edu.cn/forum/read.php?tid=6875
这个课件个人认为从博弈的基本思想，一直到解博弈的中心算法做了很好的诠释。但是特别要注意的是。课件后面一部分英语写的讲义是重中之重。小子英语很弱，在这困扰很久。现在为大家大概介绍一下。
主要是后继点和SG值的问题:
SG值：一个点的SG值就是一个不等于它的后继点的SG的且大于等于零的最小整数。
后继点：也就是按照题目要求的走法（比如取石子可以取的数量，方法）能够走一步达到的那个点。
具体的有关SG值是怎么运用的希望大家自己多想想。
课件后面有一个1536的代码。可以放在后面做做
看到这里推荐大家做几道题：1846（最简单的博弈水题）
1847（求SG值）

有了上面的知识接下来我们来看看组合博弈（n堆石子）
推荐大家看个资料：
博弈-取石子游戏(推荐等级五星级)
http://acm.hdu.edu.cn/forum/read.php?fid=20&tid=5748
http://hi.baidu.com/netnode/blog/item/30932c2edc7384514fc226ea.html
这里提出了一个奇异状态的问题。看了这篇文章你会发现异或运算在博弈中使用的妙处。当然这里指出的只是组合博弈中一种特殊情况。
王道还是对SG值的求解，但是知道这么一种思路无疑对思维的广度和深度扩展是很有帮助的。
ZZ博弈
http://acm.hdu.edu.cn/forum/read.php?fid=9&tid=10617
这里介绍了组和博弈的两种大的类型，一种是最后取的是N状态一种是最后取的是P状态，两个状态的解题方法能看懂很有帮助。当然，能够把推导过程理解，吃透无疑是大牛级的做法~小子也佩服的紧~   
    1536题推荐做做这题，这题前面提醒大家是一个求SG值的题目，题目前面是对异或运算运用在组合博弈问题中的很好的解释。当然题目本身是有所不同的。因为在这里面对取法有所要求。那么这样就回归到了解决博弈问题的王道算法——求SG值上。
    有关运用求SG值的博弈题目有： 1850（也可基于奇异状态异或）
1848（中和的大斐波那契数列的典型求SG值题）
1517（个人认为有点猥琐的题目。。。。在此题上困扰很久。当然搞出来很开心。小子是用比较规矩的求SG值的方法求出来的，但是论坛有人对其推出来了规律，这里佩服一下，大家可以学习一下）
1079（更猥琐的题目，对新手要求较高，因为按传统方法需要比较细致的模拟加对边角状态的考虑，同样有人推出来了公式）
当你全部看完以上的东西。做完以上的题目的话。。。小子恭喜你~你博弈入门了~~~~
    这里小子告诉大家。博弈很强大。学习要耐心~谢谢
Current System Time : 2008-12-11 19:16:03

ACM课作业：
1001 Brave Game
1002 Good Luck in CET-4 Everybody!
1003 Fibonacci again and again
1004 Rabbit and Grass
1005 Being a Good Boy in Spring Festival
1006 Public Sale 
1007 悼念512汶川大地震遇难同胞——选拔志愿者 
1008 kiki’s game 
1009 Calendar Game 
1010 A Multiplication Game 
1011 Digital Deletions 
1012 S-Nim
http://acm.hdu.edu.cn/forum/read.php?tid=11339&fpage=0&toread=&page=1