算法导论第四章习题：找出所缺的整数，VLSI芯片测试

4.2 找出所缺的整数
问题：数组A[1..n]的每个元素均在0~n范围内且各不相同（显然，0~n中肯定有个数不在数组A[1..n]内）。数组A[1..n]中的元素只能按位访问（如：取A[i]的第j位），访问一位所花费的时间为常数。现在的任务是给出一个算法，在O(n)时间内找出0~n中不在A[1..n]中的数。

解决思路：
1.    针对A[1,…,n]里面的元素，如果第一位（从右到左）是0，则去掉第一位并放到偶数数组里面；如果第一位是1，则去掉第一位并放到奇数数组里面。
2.    考虑偶数数组里面的元素数量，如果数量少于(n+2)/2的下界，则说明少了个偶数，于是对偶数数组执行类似于步骤1的动作，只不过n变成(n+2)/2的下界。如果偶数数组数量等于(n+2)/2的下界，则说明少了个奇数，于是对奇数数组执行类似于步骤1的动作，只不过n变成(n+1)/2的下界，此时令Num+=1<<k，k为递归次数。
3.    当数组内没有元素时，说明已经找出了那个数字，即为Num。

 

4.6 VLSI芯片测试
问题：Diogenes 教授有n个被认为是完全相同的VLSI芯片,原则上它们是可以互相测试的.教授的测试装置一次可测试二片,当该装置中放有两片芯片时,每一片就对另一片作测试并报告其好坏.一个好的芯片总能够正确的报告另一片的好坏,但一个坏的芯片的结果就是不可靠的.这样,每次的测试的四种可能结果如下:

a)证明若少于 n/2 的芯片是坏的,在这种成对测试方式下,使用任何策略都不能确定哪个芯片是好的.
b)假设有多于 n/2 的芯片是好的,考虑从 n 片中找出一片好芯片的问题.证明 n/2 对测试就足以使问题的规模降至近原来的一半.
c)假设有多于 n/2 的芯片是好的,证明好的芯片可用 O(n) 对测试找出。

解题思路：
a)    在所有的策略中，时间复杂度最高但最有效的方法是：对每个芯片，让其它所有芯片对它进行报告，由于好芯片数目小于n/2，对于任意芯片，坏芯片都可以让判断结果一模一样（比如判断结果好坏各占一半），此时，就无法判断出好坏。得证。
b)    问题可以这么理解，证明：当多于n/2的芯片是好的时，可以通过【n/2的下界】次操作，得到一个包含至多n/2个芯片的集合，且该集合内好的芯片大于一半。这样，以后只需要在这个集合上执行类似的判断动作就好了。
对于n个芯片的集合，假设good代表好芯片的数目，则坏芯片有(n – good)个，将n个芯片两两组合，接下来分类讨论。
        1.    当n为偶数时，假设好芯片和坏芯片组成的对数为r，则(n - good) >= r。对每个对，如果结果是情况2、3、4，则不做任何操作，如果结果是情况1，则从中挑出一个放到一个集合中。所以，我们可以在好芯片对中取到(good – r)/2个芯片，从坏芯片对中取到m个芯片，m <= (n – good - r)/2。因为(good – r)/2 > (n – good - r)/2，所以新集合中好芯片的数目大于一半，另外总芯片数小于等于(n/2 - r)。
        2.    当n为奇数时，提取一个芯片，对剩下的芯片采取偶数的方法，只不过最后的集合情况是：(good - r)/2 >= (n – 1 – good - r)/2，芯片总数小于等于((n – 1)/2 - r)。
                1)    当总数是偶数时，要么好的芯片数和坏的芯片数一样，原先被提取的芯片是好的芯片，把好的芯片加入集合；要么好的芯片比坏芯片多偶数个，此时不论被提取的芯片是好是坏，把它加入集合也能保证好的芯片数大于坏的芯片数。
                2)    当总数是奇数时，好的芯片数必然大于坏的芯片数。
       得证。
c)    当每次的r为0时，所需要的递归次数最多，T(n) = T(n/2) + n/2。