最大似然估计

最大似然估计概述

   最大似然估计 是一种统计方法 ,它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。这个方法最早是遗传学家以及统计学家罗纳德·费雪 爵士在1912年至1922年间开始使用的。

  “似然”是对likelihood 的一种较为贴近文言文的翻译,“似然”用现代的中文来说即“可能性”。故而,若称之为“最大可能性估计”则更加通俗易懂。

  最大似然法明确地使用概率模型,其目标是寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树。最大似然法是一类完全基于统计 的 系统发生树重建方法的代表。该方法在每组序列比对中考虑了每个核苷酸替换的概率。

  例如,转换出现的概率大约是颠换的三倍。在一个三条序列的比对中,如果发现其中有一列为一个C,一个T和一个G,我们有理由认为,C和 T所在的序列之间的关系很有可能更接近。由于被研究序列的共同祖先序列是未知的,概率的计算变得复杂;又由于可能在一个位点或多个位点发生多次替换,并且 不是所有的位点都是相互独立,概率计算的复杂度进一步加大。尽管如此,还是能用客观标准来计算每个位点的概率,计算表示序列关系的每棵可能的树的概率。然 后,根据定义,概率总和最大的那棵树最有可能是反映真实情况的系统发生树。


 

最 大似然估计的原理

  给定一个概率分布D ,假定其概率密度函数(连续分布)或概率聚集函 数(离散分布)为f D ,以及一个分布参 数θ ,我们可以从这个分布中抽出一个具有n 个 值的采样X_1, X_2,/ldots, X_n ,通过利用f D , 我们就能计算出其概率:

/mathbb{P}(x_1,x_2,/dots,x_n) = f_D(x_1,/dots,x_n /mid /theta)

  但是,我们可能不知道θ 的值,尽管我们知道这些采样数据来自于分布D 。那么我们如何才能估计出θ 呢? 一个自然的想法是从这个分布中抽出一个具有n 个值的采样X 1 ,X 2 ,...,X n , 然后用这些采样数据来估计θ .

  一旦我们获得X_1, X_2,/ldots, X_n ,我们就能从中找到一个关于θ 的 估计。最大似然估计会寻找关于 θ 的最可能的值(即,在所有可能的θ 取值中,寻找一个值使这个采样的“可能性”最大化)。这种方法正好同一些其他的估计方法不同,如θ 的非偏估计,非偏估计未必会输出一个最可能的值,而是会输出一个既不高估也不低估 的θ 值。

  要在数学上实现最大似然估计法 ,我们首先要定义可能性 :

/mbox{lik}(/theta) = f_D(x_1,/dots,x_n /mid /theta)

  并且在θ 的所有取值上,使这个[[函数最大化。这个使可能性最大的/widehat{/theta} 值即被称为θ最大似然估计

注意

  • 这里的可能性是指x_1,x_2,/ldots,x_n 不变时,关于θ 的一个函数。
  • 最大似然估计函数不一定是惟一的,甚至不一定存在。

最 大似然估计的例子

离 散分布,离散有限参数空间

  考虑一个抛硬币 的例子。假设这个硬币正面跟反面轻重不同。我们把这个硬币抛80次(即,我们获取一个采样x_1=/mbox{H}, x_2=/mbox{T}, /ldots, x_{80}=/mbox{T} 并把正面的次数记下来,正面 记为H,反面记为T)。并把抛出一个正面的概率记为p ,抛出一个反面的概率记 为1 − p (因此,这里的p 即 相当于上边的θ )。假设我们抛出了49个正面,31 个反面,即49次H,31次T。假设这个硬币是我们从一个装了三个硬币的盒子里头取出的。这三个硬币抛出正面的概率分别为p = 1 / 3 , p = 1 / 2 , p = 2 / 3 . 这些硬币没有标记,所以我们无法知道哪个是哪个。使用最大似然估计 ,通过这些试验数据(即采样数据),我们可以计算出哪个硬币的可能性最 大。这个可能性函数取以下三个值中的一个:

最大似然估计_第1张图片

  我们可以看到当/widehat{p}=2/3 时,可能性函数取得最大值。这就是p 最 大似然估计 .

离 散分布,连续参数空间

  现在假设例子1中的盒子中有无数个硬币,对于0/leq p /leq 1 中的任何一个p , 都有一个抛出正面概率为p 的硬币对应,我们来求其可能性函数的最大值:

/begin{matrix} /mbox{lik}(/theta) & = & 
f_D(/mbox{H=49,T=80-49}/mid p) = /binom{80}{49} p^{49}(1-p)^{31} // 
/end{matrix}

  其中0/leq p /leq 1 . 我们可以使用微分法来求最值。方程两边同时对p 取微分,并使其为零。

最大似然估计_第2张图片

  在不同比例参数值下一个二项式过程的可能性曲线 t = 3, n = 10;其最大似然估计值发生在其众数 (数 学)并在曲线的最大值处。

  其解为p = 0 , p = 1 ,以及p = 49 / 80 . 使可能性最大的解显然是p = 49 / 80 (因 为p = 0p = 1 这两个解会使可能性为零)。因此我们说最大似然估计值/widehat{p}=49/80 .

  这个结果很容易一般化。只需要用一个字母t 代替49用以表 达伯努利试验中的被观察数据(即样本 )的'成功'次数,用另一个字母n 代表伯 努利试验的次数即可。使用完全同样的方法即可以得到最大似然估计值 :

/widehat{p}=/frac{t}{n}

  对于任何成功次数为t ,试验总数为n 的伯努利试验。

连 续分布,连续参数空间

  最常见的连续概率分布是正态分布 ,其概率密度函数如下:

f(x/mid /mu,/sigma^2) = /frac{1}{/sqrt{2/pi/sigma^2}} 
e^{-/frac{(x-/mu)^2}{2/sigma^2}}

  其n 个正态随机变量的采样的对应密度函数(假设其独立并服从同一分 布)为:

f(x_1,/ldots,x_n /mid /mu,/sigma^2) = /left( 
/frac{1}{2/pi/sigma^2} /right)^/frac{n}{2} e^{-/frac{ 
/sum_{i=1}^{n}(x_i-/mu)^2}{2/sigma^2}}

  或:

f(x_1,/ldots,x_n /mid /mu,/sigma^2) = /left( 
/frac{1}{2/pi/sigma^2} /right)^{n/2} /exp/left(-/frac{ 
/sum_{i=1}^{n}(x_i-/bar{x})^2+n(/bar{x}-/mu)^2}{2/sigma^2}/right) ,

  这个分布有两个参数:μ,σ2 . 有人可能会担心两个参数与上边的讨论的例子不同,上边的例子都只是在一个参数上对可能性进行最大化。实际上,在两个参数上的求最大值的方法也差不多:只需 要分别把可能性/mbox{lik}(/mu,/sigma) = f(x_1,,/ldots,x_n /mid /mu, /sigma^2) 在两 个参数上最大化即可。当然这比一个参数麻烦一些,但是一点也不复杂。使用上边例子同样的符号,我们有θ = (μ,σ2 ) .

  最大化一个似然函数同最大化它的自然对数是等价的。因为自然对数log是一个连续且在似然函数的值域内严格递增的函数。[注意:可能性 函数(似然函数)的自然对数跟信息熵以及Fisher信息联系紧密。求对数通常能够一定程度上简化运算,比如在这个例子中可以看到:

最大似然估计_第3张图片

  这个方程的解是/widehat{/mu} = /bar{x} = /sum^{n}_{i=1}x_i/n . 这的确是这个函数的最大值,因为它是μ 里头惟一的拐点并且二阶导数严格小于零。

  同理,我们对σ 求导,并使其为零。

最大似然估计_第4张图片

这个方程的解是/widehat{/sigma}^2 = /sum_{i=1}^n(x_i-/widehat{/mu})^2/n .

因此,其关于θ = (μ,σ2 )最大似然估 计 为:

/widehat{/theta}=(/widehat{/mu},/widehat{/sigma}^2) = 
(/bar{x},/sum_{i=1}^n(x_i-/bar{x})^2/n) .

性质

泛 函不变性(Functional invariance)

  如果/widehat{/theta}θ 的一个最大似然估计,那么α = g (θ) 的最大似然估计是/widehat{/alpha} = g(/widehat{/theta}) . 函数 g 无需是一个——映射。

渐近线行为

  最大似然估计函数在采样样本总数趋于无穷的时候达到最小方差 (其 证明可见于Cramer-Rao lower bound)。当最大似然估计非偏时,等价的,在极限的情况下我们可以称其有最小的均方差。对于独立的观察来说,最大似然估计函数经常趋于正态分布。

偏差

  最大似然估计的非偏估计偏差是非常重要的。考虑这样一个例子,标有1nn 张票放在一个盒子中。 从盒子中随机抽取票。如果n 是未知的话,那么n 的最大似然估计值就是抽出的票上标有的n ,尽管其期望值的只有(n + 1) / 2 . 为了估计出最高的n 值,我们能确定的只能是n 值 不小于抽出来的票上的值。

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