面试题精选（73）：求内积最大的字数组

据说这是一道Google的面试题。在网上看到有些人在讨论这道题目，但能给出正确算法的人并不多。

问题描述：有两个长度均为n的整数数组A和B，现在要从这两个数组中各抽出s个数字，分别构成两个新的数组C和D，要求数组C和D的内积最大。

即已知：
A=[a1,a2,...,an]，B=[b1,b2,...,bn]；
求：
C=[c1,c2,...,c5]，D=[d1,d2,...,d5]；
满足：
c1,...,c5属于A,d1,...,d5属于B；
使得C、D的内积（c1*d1,c2*d2,...,c5*d5）最大。

一、我们先考虑只有正数的情况：

当s=1时，题目就退化成，从n个正整数中选取一个，从另外n个正整数中选取一个，使得乘积最大。显然，两次选取的都应该是那些数中最大的。

当s>1时，我们分两步考虑，先考虑选取哪些数，再考虑这些数怎么配对。

1. 相信很多人都可以轻松地得出这样的结论：从A中选取最大的s个数构成C，从B中选取最大的s个数构成D，才有可能使得C、D内积最大。因为如果用A中的某个较小的数替换C中的任何一个数字，都会导致对应的乘积变小，从而整个内积变小。对于D也是类似的。

2. 对于选定的C和D，如何配对呢？显然，应该让C中最大的数与D中最大的数相乘，C中第二大的数与D中第二大的数相乘，以此类推。这个命题的证明也是很简单的.

因此，如果A、B全部都是正整数，那只需要分别排序后，从大到小选取s个数即可。

二、接下来考虑只有负数的情况：

只有负数跟只有正数是类似的，因为两个负数相乘的结果与这两个负数的绝对值相乘是一样的。根据上面的分析，我们只要对A、B分别排序后，从小到大（即绝对值从大到小）选取s个数即可。

三、再考虑两个数组一个全是正数，另一个全是负数的情况：

不妨设A中全是正数，B中全是负数。

当s=1时，题目就退化成，从n个正整数中选取一个，从另外n个负整数中选取一个，使得乘积最大。显然，两次选取的都应该是那些数中绝对值最小的（即最小的正数和最大的负数）。

当s>1时，还是分两步考虑。

1. 很容易证明，应该从两个数组中分别选取绝对值最小的s个数（即正数数组中最小的s个数，负数数组中最大的s个数）。因为如果剩余的任何数字替换进来，都会导致对应的乘积的绝对值变大，乘积本身变小，从而整个内积变小。值得注意的是，很多人在这里容易出错，他们没有考虑到乘积为负数时，绝对值越大，乘积本身越小。

2. 对于选定的C和D，如何配对呢？根据上面一、2.中的式子可以知道，我们还是要让最大的那对数相乘，第二大的那对数相乘，……。然而这里需要注意，也是很多人容错一出错的地方，最大的那对数，其实是正数中最大的，负数中最小的。比如[1, 2]和[-1, -2]，正确的配对应该是1*-2+2*-1=-4，而不是1*-1+2*-2=-5。

四、几种特殊情况都考虑完了，最后就是正负数任意混合的一般情况。根据上面的分析，我们终归是要对A和B分别排序的，排序之后将两个数组的下标对齐，可以将两个数组分成三个部分，第一个部分中两个的数组元素都是负数（负数部分），第二个部分中一个数组元素都是负数而另一个都是正数（异号部分），第三个部分中两个数组的元素都是正数（正数部分），如下所示：
A=[— | +  | +]

B=[— | — | +]

由于负数部分和正数部分都产生正的乘积，我们需要同时考虑这两个部分。每次从这两个部分各选出绝对值最大的一对数，将乘积更大的那对从A、B中转移到C、D中，然后继续比较。

如果负数部分和正数部分都取完了，还缺m对数，那就从异号部分选取最小的m个正数，和最大的m个负数，对应配对即可。

算法示意：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

def MinInnerProduct(A, B, n, s): if not len(A) == len(B) == n or not 0 <= s <= n: raise Exception('Invalid arguments.')   A.sort() B.sort() (C, D, sum) = ([], [], 0) (i, j) = (0, n - 1)   while len(C) < s: val1 = A[i] * B[i] val2 = A[j] * B[j] if val1 < 0 and val2 < 0: break if val1 >= val2: C.append(A[i]) D.append(B[i]) sum += val1 i += 1 else: C.append(A[j]) D.append(B[j]) sum += val2 j -= 1   j -= s - len(C) - 1 while len(C) < s: C.append(A[i]) D.append(B[j]) sum += A[i] * B[j] i += 1 j += 1   return (C, D, sum)

算法的空间复杂度为O(s)，即用来存储C、D的空间；时间复杂度为O(n lg n)。