对区间的模糊排序

 

7-6 对区间的模糊排序

    考虑这样的一种排序问题，即无法准确地知道待排序的各个数字到底是多少。对于其中的每个数字，我们只知道它落在实轴上的某个区间。亦即，给定的是n个形如[ai,bi]的闭区间，其中ai≤bi。算法的目标是对这些区间进行模糊排序(fuzzy-sort)，亦即，产生的各区间的一个排列<i1,i2,...,in>，使得存在一个cj∈[ai, bi]，满足c1≤c2≤...≤cn。

a）为n个区间的模糊排序设计一个算法。你的算法应该具有算法的一般结构，它可以快速排序左部端点（即各ai），也要能充分利用重叠区间来改善运行时间。（随着各区间重叠得越来越多，对各个区间进行模糊排序的问题会变得越来越容易。你的算法应能充分利用这种重叠。）

b）证明：在一般情况下，你的算法的期望运行时间为Θ(nlgn)，但当所有的区间都重叠时，期望的运行时间为Θ(n)（亦即，当存在一个值x，使得对所有的i，都有x∈[ai,bi]）。你的算法不应显示地检查这种情况，而是应当随着重叠量的增加，性能自然地有所改善。

 

 分析与解答：

       先思考一个问题：为什么区间重叠能改善排序算法的期望运行时间呢？想明白了其实很简单，这相当于我们用快速排序一个数组时，数组中有很多重复元素，这样PARTITION时就可能非常高效。

 

a）首先定义两个线段的偏序关系(非唯一)，如下图所示

 

 

以线段i的左端点ai为参照物，分为三种情况：

1）线段j<线段i， 此时满足bj<ai

2）线段j=线段i， 此时满足bi≤ai≤bj。这样定义的原因是：最后可以让线段j和线段i的cj均取ai

3）现对j>线段i， 此时满足bi>ai

 

按照定义的偏序关系进行PATITION，期望的运行时间和快速排序的时间相同为Θ(nlgn)。

 

b）当所有的区间都重叠时，进行PATITION时

因为所有线段的右断点都位于X的右边，所以只需要考虑左端点

以线段i为枢轴元素为例，特别注意此时偏序关系只有两种情况：

1）若线段j的左端点bi≤ai，则线段j=线段i

    因为线段j的右端点bj ≥x ≥ai，则bi≤ai≤bj，满足偏序关系的第2）定义。

2）若线段j的左端点bj>ai，则线段j>线段i

因为线段i是随机选择的，所以期望的情况下，ai位于所有线段的左端点的中间，可以写出运期望行时间的递归表达式

           ET(n) = ET(n/2)+Θ(n)

根据主定律，可以得到期望运行时间 ET(n) 为Θ(n)