莫比乌斯反演与最大公约数

在数论中，有很多题目都与莫比乌斯反演有关，最典型的就是最大公约数。比如你可以见到如下常见问题。

 

（1）已知，求为质数的的对数，或者等于1的的对数。

 

（2）已知和，求为质数的的对数，或者等于1的的对数。

 

（3）已知，求的对数。

 

（4）已知和，求的对数。

 

上面的问题其实都可以用莫比乌斯反演来解，时间复杂度都还可以。关于莫比乌斯反演，前面的文章中有详细介绍。

 

莫比乌斯反演：http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8542292

 

 

接下来，我们看一个关于莫比乌斯反演稍微复杂一点的题目。

 

题目：http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=2106

 

题意：给一个长度小于20的整数数组a[]，有另外一个数组b[]，满足条件，求使得条件

     成立的数组b[]的个数，结果对取余。

 

分析：依据前面学的莫比乌斯反演，我们先设两个函数和。

 

     为满足条件的对数

 

     为满足条件的对数

 

     那么，很明显有 ，注意这里的为公共因子。

 

     而，反演后得到

 

     在这里我们只考虑为无平方因子的数即可。