连分数求解Pell方程

如果我们求出Pell方程的最小正整数解后，就可以根据递推式求出所有的解。

则根据上式我们可以构造矩阵，然后就可以快速幂了。

这样就可以求出第k大的解。

HDU3292题就要用到上面的矩阵方法求第k大的解。

 

 

 

拓展一点：

(1)如果第n个三角数t等于m的平方，即，那么x=2n+1，y=m，就是丢番图方程的解。

 

(2)求丢番图方程的最小正整数解，其中d为非完全平方数的正整数。

 

题目：http://poj.org/problem?id=2427

题意：求方程x^2-N*y^2=1的最小正整数解。本题要用到高精度，所以用Java。

import java.math.BigInteger;  
import java.util.Scanner;  

public class Main
{  
    public static void solve(int n) 
    {  
        BigInteger N, p1, p2, q1, q2, a0, a1, a2, g1, g2, h1, h2,p,q;  
        g1 = q2 = p1 = BigInteger.ZERO;  
        h1 = q1 = p2 = BigInteger.ONE;  
        a0 = a1 = BigInteger.valueOf((int)Math.sqrt(1.0*n));
        BigInteger ans=a0.multiply(a0);
        if(ans.equals(BigInteger.valueOf(n)))
        {
        	System.out.println("No solution!");
        	return;
        }
        N = BigInteger.valueOf(n);  
        while (true) 
        {  
            g2 = a1.multiply(h1).subtract(g1);     
            h2 = N.subtract(g2.pow(2)).divide(h1);  
            a2 = g2.add(a0).divide(h2);          
            p = a1.multiply(p2).add(p1);           
            q = a1.multiply(q2).add(q1);          
            if (p.pow(2).subtract(N.multiply(q.pow(2))).compareTo(BigInteger.ONE) == 0) break;
            g1 = g2;h1 = h2;a1 = a2;  
            p1 = p2;p2 = p;  
            q1 = q2;q2 = q;  
        }
        System.out.println(p+" "+q);
    }  
   
    public static void main(String[] args) 
    {  
        Scanner cin = new Scanner(System.in);  
        while(cin.hasNextInt())
        {
            solve(cin.nextInt());   
        }
    }  
}  

 

 

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2281

 

题意：给出一个数N，求1到N的范围内，找到一个最大的n，满足，N最大达到10^18

 

分析：我们把上式写成，然后就是解Pell方程即可。