NKoj 2118 Handy Service（计算几何）

题目链接：http://acm.nankai.edu.cn/p2118.html

 

题 意：给出一个多边形和多边形外两点A，B，求在不穿过多边形的条件下，两点A，B间的最短距离。

 

最短路问题，可以在能够直接相连的顶点间连边，然后求A点到B的最短路。

建图的关键在于判断两点的连线是否穿越了多边形。

 

有这样一个结论：如果线段穿越多边形，则1：线段与多边形中的边有内交关系

或2： 在所有与顶点相交的点中的相邻交点连线在多边形内。

 

http://bbs.pep.com.cn/thread-241056-1-1.html

[算法]判断线段是否在多边形内 判断线段是否在多边形内 线段在多边形内的一个必要条件是线段的两个端点都在多边形内； 如果线段和多边形的某条边内交（两线段内交是指两线段相交且交点不在两线段的 端点），因为多边形的边的左右两侧分属多边形内外不同部分，所以线段一定会有 一部分在多边形外。于是我们得到线段在多边形内的第二个必要条件：线段和多边 形的所有边都不内交； 线段和多边形交于线段的两端点并不会影响线段是否在多边形内；但是如果多边形 的某个顶点和线段相交，还必须判断两相邻交点之间的线段是否包含与多边形内部。 因此我们可以先求出所有和线段相交的多边形的顶点，然后按照X-Y坐标排序，这样 相邻的两个点就是在线段上相邻的两交点，如果任意相邻两点的中点也在多边形内， 则该线段一定在多边形内。证明如下： 命题1： 如果线段和多边形的两相邻交点P1 ，P2的中点P' 也在多边形内，则P1, P2之间的 所有点都在多边形内。 证明： 假设P1,P2之间含有不在多边形内的点，不妨设该点为Q，在P1, P'之间，因为多边 形是闭合曲线，所以其内外部之间有界，而P1属于多边行内部，Q属于多边性外部， P'属于多边性内部，P1-Q-P'完全连续，所以P1Q和QP'一定跨越多边形的边界，因此 在P1,P'之间至少还有两个该线段和多边形的交点，这和P1P2是相邻两交点矛盾，故 命题成立。证毕 由命题1直接可得出推论： 推论2： 设多边形和线段PQ的交点依次为P1,P2,……Pn，其中Pi和Pi+1是相邻两交点，线段 PQ在多边形内的充要条件是：P，Q在多边形内且对于i =1, 2,……, n-1，Pi ,Pi+1 的中点也在多边形内。 在实际编程中，没有必要计算所有的交点，首先应判断线段和多边形的边是否内交 ，倘若线段和多边形的某条边内交则线段一定在多边形外；如果线段和多边形的每 一条边都不内交，则线段和多边形的交点一定是线段的端点或者多边形的顶点，只 要判断点是否在线段上就可以了。 至此我们得出算法如下： 1. if 线端PQ的端点不都在多边形内 2. then return false; 3. 点集pointSet初始化为空; 4. for 多边形的每条边s 5. do if 线段的某个端点在s上 6. then 将该端点加入pointSet; 7. else if s的某个端点在线段PQ上 8. then 将该端点加入pointSet; 9. else if s和线段PQ相交 // 这时候可以肯定是内交 10. then return false; 11. 将pointSet中的点按照X-Y坐标排序，X坐标小的排在前面， 对于X坐标相同的点，Y坐标小的排在前面； 12. for pointSet中每两个相邻点 pointSet , pointSet[ i+1] 13. do if pointSet , pointSet[ i+1] 的中点不在多边形中 14. then return false; 15. return true; 这个算法的复杂度也是O(n)。其中的排序因为交点数目肯定远小于多边形的顶点数 目n，所以最多是常数级的复杂度，几乎可以忽略不计。

另判断点是否在多边形内：

http://www.cppblog.com/w2001/archive/2008/09/23/31694.html

1. 叉乘判别法（只适用于凸多边形） 想象一个凸多边形，其每一个边都将整个2D屏幕划分成为左右两边，连接每一边的第一个端点和要测试的点得到一个矢量v，将两个2维矢量扩展成3维的，然后将该边与v叉乘，判断结果3维矢量中Z分量的符号是否发生变化，进而推导出点是否处于凸多边形内外。这里要注意的是，多边形顶点究竟是左手序还是右手序，这对具体判断方式有影响。 2. 面积判别法（只适用于凸多边形） 第四点分别与三角形的两个点组成的面积分别设为S1,S2,S3，只要S1+S2+S3>原来的三角形面积就不在三角形范围中.可以使用海伦公式 。推广一下是否可以得到面向凸多边形的算法？（不确定） 3. 角度和判别法（适用于任意多边形） double angle = 0; realPointList::iterator iter1 = points.begin(); for (realPointList::iterator iter2 = (iter1 + 1); iter2 < points.end(); ++iter1, ++iter2) { double x1 = (*iter1).x - p.x; double y1 = (*iter1).y - p.y; double x2 = (*iter2).x - p.x; double y2 = (*iter2).y - p.y; angle += angle2D(x1, y1, x2, y2); } if (fabs(angle - span::PI2) < 0.01) return true; else return false; 另外，可以使用bounding box来加速。 if (p.x < (*iter)->boundingBox.left || p.x > (*iter)->boundingBox.right || p.y < (*iter)->boundingBox.bottom || p.y > (*iter)->boundingBox.top) 。。。。。。 对于多边形来说，计算bounding box非常的简单。只需要把水平和垂直方向上的最大最小值找出来就可以了。 对于三角形：第四点分别与三角形的两个点的交线组成的角度分别设为j1,j2,j3，只要j1+j2+j3>360就不在三角形范围中。 4. 水平/垂直交叉点数判别法（适用于任意多边形） 注意到如果从P作水平向左的射线的话，如果P在多边形内部，那么这条射线与多边形的交点必为奇数，如果P在多边形外部，则交点个数必为偶数（0也在内）。所以，我们可以顺序考虑多边形的每条边，求出交点的总个数。还有一些特殊情况要考虑。假如考虑边(P1,P2)， 1)如果射线正好穿过P1或者P2,那么这个交点会被算作2次，处理办法是如果P的从坐标与P1,P2中较小的纵坐标相同，则直接忽略这种情况 2)如果射线水平，则射线要么与其无交点，要么有无数个，这种情况也直接忽略。 3)如果射线竖直，而P0的横坐标小于P1,P2的横坐标，则必然相交。 4)再判断相交之前，先判断P是否在边(P1,P2)的上面，如果在，则直接得出结论：P再多边形内部。

 

代码：

#include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<string.h> #include<math.h> #define Max(x,y) (x>y?x:y) #define Min(x,y) (x>y?y:x) #define Mid(x,y) ((x+y)*0.5) #define M 32 const double inf=10e12; const double eps=1e-8; const double Pi=acos(-1); typedef struct talP{ double x,y; }Point; Point p[M]; double dis[M][M]; int n; int tmp[M]; int tn; double Dis(Point p,Point q) { p.x-=q.x,p.y-=q.y; return sqrt(p.x*p.x+p.y*p.y); } double XMulti(Point p,Point q,Point o) { return (p.x-o.x)*(q.y-o.y)-(p.y-o.y)*(q.x-o.x); } bool PInLine(Point t,Point p,Point q) { return t.x>=Min(p.x,q.x)&&t.x<=Max(p.x,q.x) &&t.y>=Min(p.y,q.y)&&t.y<=Max(p.y,q.y); } int Cmp(const void *a,const void *b) { return *(int *)a-*(int *)b; } int TCmp(double x) { return (x>eps)-(x<-eps); } bool InConv(Point o) { int i,l,r; double x1,x2,y1,y2; double tmp,angl=0; for(i=1;i<=n;i++){ l=i;r=i%n+1; x1=p[l].x-o.x; y1=p[l].y-o.y; x2=p[r].x-o.x; y2=p[r].y-o.y; if(TCmp(x1*y2-x2*y1)==0 &&o.x>=Min(p[l].x,p[r].x)&&o.x<=Max(p[l].x,p[r].x) &&o.y>=Min(p[l].y,p[r].y)&&o.y<=Max(p[l].y,p[r].y)) return false; } for(i=1;i<=n;i++){ l=i;r=i%n+1; x1=p[l].x-o.x; y1=p[l].y-o.y; x2=p[r].x-o.x; y2=p[r].y-o.y; tmp=(x1*x2+y1*y2)/Dis(p[l],o)/Dis(p[r],o); angl+=TCmp(x1*y2-x2*y1)*acos(tmp); } return (fabs(angl)>2*Pi-eps); } bool SegCross(int f,int t) { int l,r,i; Point c; double r1,r2,r3,r4; tn=0; for(i=1;i<=n;i++){ l=i,r=i%n+1; r1=XMulti(p[l],p[f],p[t]); r2=XMulti(p[r],p[f],p[t]); r3=XMulti(p[f],p[r],p[l]); r4=XMulti(p[t],p[r],p[l]); if(r1*r2<0&&r3*r4<0) return true; if(r1==0&&PInLine(p[l],p[f],p[t])) tmp[tn++]=l; if(r2==0&&PInLine(p[r],p[f],p[t])) tmp[tn++]=r; } qsort(tmp,tn,sizeof(tmp[0]),Cmp); tmp[tn]=tmp[0]; for(i=0;i<tn;i++){ if(tmp[i]==tmp[i+1]) continue; c.x=Mid(p[tmp[i]].x,p[tmp[i+1]].x); c.y=Mid(p[tmp[i]].y,p[tmp[i+1]].y); if(InConv(c)) return true; } return false; } void Init() { int i,j; for(i=0;i<=n+1;i++){ for(j=0;j<=n+1;j++) dis[i][j]=inf; } for(i=0;i<=n+1;i++) dis[i][i]=0; for(i=0;i<=n;i++){ for(j=i+1;j<=n+1;j++){ if(!SegCross(i,j)) dis[i][j]=dis[j][i]=Dis(p[i],p[j]); } } } void Floyd() { int i,j,k; for(k=0;k<=n+1;k++){ for(i=0;i<=n+1;i++){ if(dis[i][k]==inf||i==k) continue; for(j=0;j<=n+1;j++){ if(i==j||dis[k][j]==inf) continue; if(dis[i][j]-dis[k][j]>dis[i][k]) dis[i][j]=dis[k][j]+dis[i][k]; } } } } int main() { int i; scanf("%d",&n); for(i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y); scanf("%lf%lf%lf%lf",&p[0].x,&p[0].y,&p[n+1].x,&p[n+1].y); Init(); Floyd(); printf("%.3f/n",dis[0][n+1]); return 0; }