整数拆分

  给定一个整数n，要找出n能拆分成多少种不同的若干个数的和与乘积的形式。比如：
    4=4                   12=1*12
    4=1+3               12=2*6
    4=2+2               12=3*4
    4=1+1+2           12=2*2*3
    4=1+1+1+1
    先看加法形式，可以构造一个母函数F(x)=(1+x+x^2+...+x^n)(1+x^2+x^4+...+x^n)...(1+x^n)，将这个母函数展开后，求出每一个x^k前面的系数Ck，就是对应的整数K有多少种拆分的形式。
import java.util.Scanner; public class Main { public static void main(String[] args) { int MAXN = 120; int[] c1 = new int[MAXN+1]; int[] c2 = new int[MAXN+1]; int i,j,k,n; for(i=0;i<=MAXN;i++){ c1[i]=1; c2[i]=0; } for(i=2;i<=MAXN;i++){ for(j=0;j<=MAXN;j++) for(k=0;k+j<=MAXN;k+=i) c2[j+k]+=c1[j]; for(j=0;j<=MAXN;j++){ c1[j]=c2[j]; c2[j]=0; } } Scanner sc = new Scanner(System.in); n = sc.nextInt(); for(int ii=0;ii<n;ii++){ System.out.println(c1[sc.nextInt()]); } } }

对于乘积的形式，设n=i*j，dp[n]为整数n拆分成乘积形式的个数，dp[n]=∑dp[i]=∑dp[j] (i∈{i : i*j=n}，j∈{j : i*j=n})，这就是这个问题的状态转移方程，具有动态规划问题的最有子结构性质。
#include <iostream> using namespace std; const int MAXN = 200000; int dp[MAXN+1]; int main(){ int i,j,n; for(dp[1]=1,i=2;i<=MAXN;i++) for(j=1;i*j<=MAXN;j++) dp[i*j]+=dp[j]; while(cin>>n) cout<<dp[n]<<endl; return 0; }