GCD算法（最大公约数算法）解析

GCD（Great Common Divisor）算法，即所谓最大公约数算法，也称为HCF（Highest Common Factor）算法。而所谓的最大公约数，指的是几个整数中共有约数中最大的一个。如果数A可被M整除，则M就是A的约数（因数），那么如果数A、 B、 C都可被M整除，且M是可以整除这些数种最大的整数，则M就成为A B C的最大公约数，记为(A、 B、 C)，如（12、15、18）=3。

求两个整数最大公约数的主要方法有如下几种：

1. 列举法：各自列出约数，再找出最大的公约数
2. 质因数分解法：两数各作质因数分解，然后取出同样有的项相乘起来
3. 短除法
4. 辗转相除法：常用于不容易判断公约数的场合

下面着重分析一下辗转相除法：

辗转相除法，又称欧几里得算法。它首次出现于欧几里得的《几何原本》中，在中国可追溯到东汉的《九章算术》。

它是基于如下的原理：

两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数。即一步步的降低两个数的值，直到其中一个变成零，这时所剩下的还没有变成零的数就是两个数的最大公约数。例如：252（21*12）和105（21*5）的最大公约数就是21，则147（252-105）和105的最大公约数也是21，然后42（147-105）和105的最大公约数也是21…………

可以发现，辗转相除法就是一种递归算法，每一步计算的输出值就是下一步计算的输入值。设k表示步骤数（从零开始计数），则计算过程如下：

例子如下所示：

程序伪代码如下：

function gcd(a,b)
	while b != 0
		t = b
		b = a mod b
		a = t
	return a
//减法版本
function gcd(a,b)
	if a = 0
		return b
	while b != 0
		if a > b
			a = a-b
		else 
			b = b-a
	return a
//递归版本
function gcd(a,b)
	if b = 0
		return a
	else 
		return gcd(b,a mod b)

参考文献：

[1] 维基百科