简单易懂的Dancing links讲解（4）

DancingLinks的应用

        把dancingLink应用于实际问题时，只有一个难点，就是如何把具体的问题转换为可以精确覆盖的01矩阵模型，一旦完成了这个步后，直接套用模板就可以解决问题了。

应用之一：伤脑筋十二块               

伤脑筋十二块是dancing links精确覆盖的典型应用，理解起来最容易      

图2,12片5格骨牌的拼图

题目描述：         

给你12个如上图的5格骨牌，如何让程序拼出如上的“口”字图形。          

上图是题目的一个答案，你知道程序如何得到这个答案的吗？没错，就是用dancinglink的精确覆盖             

我们想象一个有72列的矩阵，其中12列是12个骨牌，剩下60列是60个非中心部分的格子，构造出         

所有可能的行来代表在一块骨牌在棋盘上得放置方案；每行有一些‘’1“，用来标识被覆盖的格子，5个1标识一个骨牌放置的位置（恰有1568个这样的行）             

我们将最前面的12列命名为F,I,L,P,N,T,U,V,W,X,Y,Z,并且我们可以用两个数字i,j给矩阵中对应棋盘上的第i行第j列格子的那一列命名。通过给出那些出现了‘’1"的列的名字，可以很方便地表示每一行。        

例如，图2就是与下面12行的对应的精确覆盖。            

1568个行指的是12个骨牌可放置方案的总和，比如长条骨牌I共有64种放置方案，1568中就包含了这64种                              

这1568行中，每行都有6个1，分布在72个列中                                 

这个矩阵的构造思路是：                                  

首先找约束关系，这里只有两个约束关系，                              

（1）12个骨牌，每种只有1个，                                 

（2）60个空格中，一个位置只能放一种骨牌（否则就要重叠着放了）                                

因为第一个约束关系，有了12个列来区分骨牌种类，因为第二个约束关系，有了60个选5个来表示骨牌放置    

应用之二：数独问题 sudoku           

解数独，生成数独，都可以使用精确覆盖，要把数独问题构造成01矩阵还是有一定的难度           

首先找约束关系，这里只有四个约束关系，         

(1)81个格子中每个格子只能放一个数字  

(2)每一行的数字不能重复      

(3)每一列的数字不能重复      

(4)每一九宫内的数字不能重复

四个约束关系中，每个约束对应一个列域，对于第二个约束关系，数独中共有9行，每行可以填9个不同的数字       

因此第二个列域，共有9* 9，81个列，依此类推，数独问题共有列324个。            

由于81个格子，每个格子都最多有9种选择，所以行最多有81*9=729行             

这样01矩阵的每行都有4个1，第一个1分布在1到81列，第二个1分布在82到162列，第三个1分布在163到243列，        

最后一个1分布在其余列区域。 

 

思考：为什么不能这样构造01矩阵，用5个1，第一个1表示格子序号，有81个列，第二个1表示数字，从1到9有9个列，第三个1表示行号，有9行，第四个1表示列号也有9个，第五个1表示九宫格序号，也有9个，这样共有117列。            

        

为了便于理解，举个例子             

    9,2,0,0,0,0,0,0,0,        

    5,0,0,8,7,0,0,0,0,        

    0,3,8,0,9,1,0,0,0,        

    0,5,2,9,3,0,1,6,0,        

    0,9,0,0,0,0,0,3,0,        

    0,7,3,0,6,4,9,8,0,        

    0,0,0,4,1,0,2,5,0,        

    0,0,0,0,5,3,0,0,1,        

    0,0,0,0,0,0,0,7,3         

如上数独有空格40个，已知格子41个，把这个数独构造成01矩阵，矩阵的行有             

40*9+41  共401行    

对于第一个数字9，在1到81列的第一列，在82到162列的第9个，即90列，在163列到243列的第9个，在244到324列的第9个各占一个1           

对于第三个数字0，由于有9个选择，所以在构造01矩阵时，要向矩阵插入9个行，来表示各种可能             

        

对于数独的生成             

总体思路是一行一行的生成，第一行可以用一个随机的1到9的排列，接下来的8行，每行都要用dancinglink求解可行的排序             

（1）先对1到9这9个数进行随机排列，把这个排列作为数独终盘布局的第一行             

（2）自己写函数筛选出下一行，每个格子可以填写的数字集合，筛选时不用考虑行冲突        

比如对于排列5,9,7,4,2,6,8,3,1             

筛选结果如下：  123468,123468,123468,135789,135789,135789,245679,245679,245679  

表示对于下一行的1,2,3列，可以选择的数字集合有1,2,3,4,6,8.           

下一行的4,5,6列，可以选择的数字集合有1,3,5,7,8,9       

下一行的7,8,9列，可以选择的数字集合有2,4,5,6,7,9       

这时，构造01矩阵，就只有2个约束关系           

1       对于下一行的9个格子，每个格子只能放一个数字    

2       对于下一行的9个格子中的数字，每个数字都不能重复 

        

因为第3个和4个约束，已经在筛选时考虑进去，这里不需再多此一举          

这时的01矩阵，列有9+ 9=18个，行有6* 9 = 54行（6+6+6+6+6+6+6+6+6）。

 

应用之三：N皇后         

N皇后问题也可以转换为dancinglinks的精确覆盖问题           

这里只讲如何把n皇后问题转换为01矩阵，首先有四个约束关系             

（1）所有皇后不能在同一行       

（2）所有皇后不能在同一列       

（3）所有皇后不能在同一左斜线             

（4）所有皇后不能在同一右斜线             

为了便于理解，举个例子             

n=8时，有8行,8列，15个左斜线，15个右斜线（2*n-1）           

这样构造的矩阵有46个列，8*8=64个行       

矩阵的每行都有4个1，分别分布在行域，列域，左斜线域，右斜线域           

在编程求解这个问题时，需要做一点变通，因为左斜线域，右斜线域的列不可能被全部覆盖         

因此只需行域和列域被完全覆盖就算找到问题的一个解了。

附：

dancing LInks 求解数独的C++代码

#include<iostream>
#include<string.h>

using namespace std;


struct Node 
{
	Node *up;
	Node *down;
	Node *left;
	Node *right;
	Node *colRoot; //列首
	int row; //所在行
	int sum; //此列节点总数
};

#define R 729
#define C 324


class Dlx
{
public:
	Node *nodes,*row,*col,*head;//可用节点，行首，列首，总头节点
	int rowNum,colNum,nodeCount;//行数，列数,总节点数
	int *result,resultCount;//结果,结果行数

	Dlx()
	{
		nodes=new Node[R*C];//直接用数组竟然运行不起，栈溢出了，还得放在堆里
		row=new Node[R];
		col=new Node[C+1];
		result=new int[R];
	}
	~Dlx()
	{
		delete []nodes;
		delete []row;
		delete []col;
		delete []result;

	}
	void init(int r,int c);//初始化
	void cover(Node *t);//覆盖一列
	void uncover(Node *t);//取消覆盖
	bool solove(int k=0);//搜索出结果
	void addNode(int r,int c);//添加一个节点
};


void Dlx::init(int r,int c)
{
	int i;
	
	rowNum=r;
	colNum=c;
	//将各列连起来,col[colNum]为总头节点
	for(i=0;i<=colNum;i++)
	{
		col[i].up=col[i].down=col+i;
		col[i].left=col + (i+colNum)%(1+colNum);
		col[i].right=col + (i+1)%(1+colNum);
		col[i].sum=0;
	}
	head=col+colNum;

	//将各行节点数清零
	for(i=0;i<rowNum;i++)
	{
		row[i].up=row[i].down=row[i].left=row[i].right=row[i].colRoot=row+i;
	}
	
	nodeCount=0;//总节点数清零
}

void Dlx::addNode(int r,int c)
{
	nodes[nodeCount].up=col[c].up;
	nodes[nodeCount].down=col+c;
	nodes[nodeCount].left=row[r].left;
	nodes[nodeCount].right=row+r;
	nodes[nodeCount].row=r;
	nodes[nodeCount].colRoot=col+c;
	col[c].up=col[c].up->down=row[r].left=row[r].left->right=nodes+nodeCount++;	
	col[c].sum++;
}


void Dlx::cover(Node *t)
{
	Node *p,*q;
	t->left->right=t->right;
	t->right->left=t->left;
	for(p=t->down;p!=t;p=p->down)
	{
		for(q=p->right;q!=p;q=q->right)
		{
			q->up->down=q->down;
			q->down->up=q->up;
			q->colRoot->sum--;
		}
	}	
}

void Dlx::uncover(Node *t)
{
	Node *p,*q;
	for(p=t->up;p!=t;p=p->up)
	{
		for(q=p->left;q!=p;q=q->left)
		{
			q->up->down=q->down->up=q;
			q->colRoot->sum++;
		}
	}
	t->left->right=t->right->left=t;
}

bool Dlx::solove(int k)
{
	//是否还有未覆盖的列
	if(head->right==head)
	{
		//记录完成覆盖所用行数
		resultCount=k;
		return true;
	}
	
	Node *pMin,*p,*q;
	//找到节点数最少的一列,并覆盖
	for(pMin=head->right,p=pMin->right;p!=head;p=p->right)
	{
		if(pMin->sum>p->sum)
			pMin=p;
	}
	cover(pMin);
	

	for(p=pMin->down;p!=pMin;p=p->down)
	{
		result[k]=p->row;
		//选定此列上的一个节点，将此节点所在行上所有节点的对应列进行覆盖
		for(q=p->right;q!=p;q=q->right)
			cover(q->colRoot);
		if(solove(k+1))
			return true;
		//如果不能成功，则取消覆盖
		for(q=p->left;q!=p;q=q->left)
			uncover(q->colRoot);
	}

	uncover(pMin);
	return false;
}
int getRowIndex(int rowNum)
{
	int num = rowNum%9;
	int rowIndex = rowNum / 81;
	return 81 + rowIndex*9 + num;
}
int getColIndex(int rowNum)
{
	int num = rowNum%9;
	int index = rowNum/9;	//位置
	int colIndex = index%9;
	return 162 + colIndex*9+num;
}
int getSquareIndex(int rowNum)
{
	int num = rowNum%9;
	int index = rowNum/9;	//位置
	int rowIndex = index / 9;
	int colIndex = index%9;
	int squareIndex = int(rowIndex/3)*3 + colIndex/3;
	return 243 + squareIndex*9+num;
}
int main3()
{
	int i,j;
	int node4=0;
	char str[82];
	Dlx dlx;
	
	//cin>>n;
	dlx.init(729,324);
	//for(i=0;i<9;i++)
	//{
	//	cin>> (str+i*9);
	//}
	//......52..8.4......3...9...5.1...6..2..7........3.....6...1..........7.4.......3.
	const char *input = ".2738..1..1...6735.......293.5692.8...........6.1745.364.......9518...7..8..6534.";
	strcpy(str,input);
	for(i=0;i<729;i++)
	{
		//cout << "row=>" << i << "\tcol=> 位置" << i/9 <<"\t行"<<81+i/9/9*9+i%9<<"\t列"<<162+i/9%9*9+i%9<<"\t块"<< 243+(i/9/9/3*3+i/9%9/3)*9+i%9;
		//cout << "row=>" << i << "\tcol=> 位置" << i/9 <<"\t行"<<getRowIndex(i)<<"\t列"<<getColIndex(i)<<"\t块"<<getSquareIndex(i);
		if(str[i/9]=='.' || str[i/9]-'1'==i%9)
		{
			node4++;
			int rowIndex = i;
			int colIndex = i/9;
			dlx.addNode(rowIndex,colIndex);//位置冲突

			dlx.addNode(rowIndex,getRowIndex(i));//行冲突

			dlx.addNode(rowIndex,getColIndex(i));//列冲突

			dlx.addNode(rowIndex,getSquareIndex(i));//块冲突
		//	cout << "\t<=";
		}
		//cout << endl;
	}
	if(dlx.solove())
	{
		//结果存到字符串中
		for(i=0;i<81;i++)
		{
			j=dlx.result[i];
			str[j/9]='1'+j%9;
		}
		//输出字符串
		for(i=0;i<9;i++)
		{
			for(j=0;j<9;j++)
				cout<<str[i*9+j];
			cout<<endl;
		}
	}
	
	return 0;
}

附，生成数独终盘布局的Flex代码

<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>
<s:WindowedApplication xmlns:fx="http://ns.adobe.com/mxml/2009" 
					   xmlns:s="library://ns.adobe.com/flex/spark" 
					   xmlns:mx="library://ns.adobe.com/flex/mx">
	<fx:Declarations>
		<!-- Place non-visual elements (e.g., services, value objects) here -->
	</fx:Declarations>
	<fx:Script>
		<![CDATA[
			import model.DancingNode;
			
			private var sample:String="1279,2367,1369,24789,4578,259,13458,1368,456";
			
			private var rowArr:Array=[];
			private var colArr:Array=[];
			private var head:DancingNode;
			private var nodes:Array=[];
			private var cnt:Array=[];
			private var answer:Array=[];
			private var answerArr:Array=[];
			
			private function _init(restrict:String):void
			{
				answerArr=[];
				answer=[];
				cnt=[];
				nodes=[];
				rowArr=[];
				colArr=[];
				var i:int;
				var colLen:int=18;
				var rowLen:int=restrict.split(',').join('').length;
				for(i=0;i<rowLen;i++)
				{
					var row:DancingNode = new DancingNode(i);
					rowArr.push(row);
				}
				for(i=0;i<=colLen;i++)
				{
					var col:DancingNode = new DancingNode(-1,i);
					colArr.push(col);
					cnt.push(0);
				}
				var colArrLen:int = colArr.length;
				for(i=0;i<colArr.length;i++)
				{
					var left:int = (i+colArrLen-1)%colArrLen;
					var right:int = (i+1)%colArrLen;
					DancingNode(colArr[i]).left=colArr[left];
					DancingNode(colArr[i]).right=colArr[right];
				}
				head = colArr[0];
				
				//create links
				var rowIndex:int=0;
				var arr1:Array = restrict.split(',');
				for(i=0;i<arr1.length;i++)
				{
					var arr2:Array = String(arr1[i]).split('');
					for(var j:int=0;j<arr2.length;j++)
					{
						var colIndex1:int=i+1;
						var colIndex2:int=9+int(arr2[j]);
						addNode(rowIndex,colIndex1,i,int(arr2[j]));
						addNode(rowIndex,colIndex2,i,int(arr2[j]));
						rowIndex++;
					}
				}
				for(i=0;i<rowLen;i++)
				{
					DancingNode(rowArr[i]).left.right=DancingNode(rowArr[i]).right;
					DancingNode(rowArr[i]).right.left=DancingNode(rowArr[i]).left;
				}
			}
			
			private function addNode(r:int,c:int,r1:int,c1:int):void
			{
				var node:DancingNode = new DancingNode(r,c);
				node.rowValue=r1;
				node.colValue=c1;
				node.up = colArr[c].up;
				node.down = colArr[c];
				node.left = rowArr[r].left;
				node.right = rowArr[r];
				cnt[c]++;
				
				colArr[c].up=colArr[c].up.down=rowArr[r].left=rowArr[r].left.right=node;
				nodes.push(node);
			}
			
			private function remove(node:DancingNode):void
			{
				//trace("remove=>",node.col);
				node.left.right = node.right;
				node.right.left = node.left;
				for(var p:DancingNode=node.down;p!=node;p=p.down)
				{
					for(var q:DancingNode=p.right;q!=p;q=q.right)
					{
						q.up.down=q.down;
						q.down.up=q.up;
						cnt[q.col]--;
					}
				}
			}
			
			private function resume(node:DancingNode):void
			{
				//trace("resume=>",node.col);
				for(var p:DancingNode=node.down;p!=node;p=p.down)
				{
					for(var q:DancingNode=p.right;q!=p;q=q.right)
					{
						q.up.down=q;
						q.down.up=q;
						cnt[q.col]++;
					}
				}
				node.left.right = node;
				node.right.left = node;
			}
			
			private function dancing(depth:int):Boolean
			{
				//是否还有未覆盖的列
				if(head.right==head)
				{
					var arr:Array=[];
					for(var i:int=0;i<answer.length;i++)
					{
						var node:DancingNode=answer[i];
						arr[node.rowValue]=node.colValue;
					}
					answerArr.push(arr);
					return true;
				}
				var pMin:DancingNode;
				var p:DancingNode;
				//找到节点数最少的一列,并覆盖
				for(pMin=head.right,p=pMin.right;p!=head;p=p.right)
				{
					if(cnt[pMin.col] > cnt[p.col])
					{
						pMin = p;
					}
				}
				remove(pMin);
				var q:DancingNode;
				for(p=pMin.down;p!=pMin;p=p.down)
				{
					//选定此列上的一个节点，将此节点所在行上所有节点的对应列进行覆盖
					answer[depth]=p;
					for(q=p.right;q!=p;q=q.right)
					{
						remove(colArr[q.col]);
					}
					if(dancing(depth+1))
					{
						if(answerArr.length > 10)
						{
							return true;
						}
					}
					for(q=p.left;q!=p;q=q.left)
					{
						resume(colArr[q.col]);
					}
				}
				resume(pMin);
				if(answerArr.length > 0)
				{
					return true;
				}
				return false;
			}
			
			private function getSudokuLine(restricts:Array):Array
			{
				var arr:Array=[];
				for(var i:int=0;i<restricts.length;i++)
				{
					arr.push((restricts[i] as Array).join(''));
				}
				_init(arr.join(','));
				if(dancing(0))
				{
					var line:Array = answerArr[int(answerArr.length*Math.random())];
					trace('getSudokuLine,answer length=>',answerArr.length);
					return line;
				}
				return [];
			}
			//得到随机的1到9的排列
			private function getRandomArr(value:int):Array
			{
				var bak:Array = [];
				for(var i:int=1;i<=value;i++)
				{
					bak.push(i);
				}
				var randLine:Array=[];
				while(bak.length>0)
				{
					var index:int = bak.length*Math.random();
					randLine.push(bak[index]);
					bak.splice(index,1);
				}
				return randLine;
			}
			
			public function createFullSudoku():Array
			{
				var sudokuArr:Array=[];
				while(sudokuArr.length < 9)
				{
					sudokuArr=[];
					sudokuArr.push(getRandomArr(9));
					for(var i:int=0;i<8;i++)
					{
						var restricts:Array = getRestricts(sudokuArr);
						if(restricts.length==0)
						{
							break;
						}
						var line:Array = getSudokuLine(restricts);
						if(line.length==0)
						{
							break;
						}
						sudokuArr.push(line);
					}
				}
				return sudokuArr;
			}
			
			private function getRestricts(curLayout:Array):Array
			{
				var i:int;
				var ret:Array=[];
				for(i=0;i<9;i++)
				{
					var arr:Array=getCandidateNums(curLayout,i);
					if(arr.length==0)
					{
						return [];
					}
					ret.push(arr);
				}
				return ret;
			}
			//根据当前布局curLayout,得到index列的候选数集合
			private function getCandidateNums(curLayout:Array,index:int):Array
			{
				var i:int;
				var line:Array = [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9];
				if(curLayout.length==0)
				{
					return [1,2,3,4,5,6,7,8,9];
				}
				//列排除
				for(i=0;i<curLayout.length;i++)
				{
					line[curLayout[i][index]]=0;
				}
				//九宫格排除
				var col3_3:int = index/3;
				var row3_3:int = curLayout.length/3;
				var inRow3_3:int = curLayout.length%3;
				for(i=row3_3*3;i<row3_3*3+inRow3_3;i++)
				{
					line[curLayout[i][col3_3*3] ]=0;
					line[curLayout[i][col3_3*3+1] ]=0;
					line[curLayout[i][col3_3*3+2] ]=0;
				}
				var ret:Array=[];
				for(i=0;i<line.length;i++)
				{
					if(line[i]!=0)
					{
						ret.push(i);
					}
				}
				return ret;
			}
			
			private function createSudoku():void
			{
				var arr:Array=createFullSudoku();
				var arr2:Array=[];
				for(var i:int=0;i<arr.length;i++)
				{
					arr2.push((arr[i] as Array).join(','));
				}
				area.text = arr2.join('\n');
			}
		]]>
	</fx:Script>
	<s:VGroup horizontalCenter="0" verticalCenter="0">
		<s:TextArea width="300" height="300" id="area"/>
		<s:Button label="get full sudoku" click="createSudoku()"/>
	</s:VGroup>
</s:WindowedApplication>

package model
{
	public class DancingNode
	{
		public var row:int;
		public var col:int;
		public var rowValue:int;
		public var colValue:int;
		public var up:DancingNode;
		public var down:DancingNode;
		public var left:DancingNode;
		public var right:DancingNode;
		
		public function DancingNode(r:int=-1,c:int=-1)
		{
			row = r;
			col = c;
			up = this;
			down = this;
			left = this;
			right = this;
		}
	}
}