逆序数及其求法

逆序数及其求法

1. 逆序数

所谓逆序数，就是指一个序列S[i]，统计处于序列的每个数的比这个数大并且排在它前面的数的数目，然后对于所有数，把这个数目加起来求和就是了。
比如 4 3 1 2
4第一个，所以数目为0
3的前面是4，大于3的数目为1
1的前面是4 3 ，大于1的数目为2
2的前面是4 3 1，大于2的数目为2
所以逆序数为1+2+2 = 5

求逆序数的两种方法
常规方法是按照逆序数的规则做，结果复杂度是O(n*n)，一般来说，有两种快速的求逆序数的方法
分别是归并排序和树状数组法

2. 归并排序
归并排序是源于分而治之思想，详细的过程可以查阅其他资料，总体思想是划分一半，各自排好序后将两个有序序列合并起来。

如何修改归并排序求逆序数?
首先我们假设两个有序序列 a[i]和b[i]，当合并时：
由于a[i]已是有序，所以对于a[i]的各个元素来说，排在它前面且比它大的数目都是0
当b[i]中含有比a[i]小的元素时，我们必然将b[i]元素插到前面，那么就是说，在b[i]原先位置到该插的位置中，所有数都比b[i]大且排在它前面
所以这是b[i]的数目为新插入位置newPos - 原来位置oldPos

那么对于一半的序列又怎么做呢？我们知道，归并排序会继续向下递归，而递归完成返回后将是两组有序的序列，并且拿到局部的逆序数，
所以在Merge函数中添加这一计数操作即可

 

代码示例如下：

int  L[ M ];
int  R[M ];

const   int  Max  =   1   << 30 ;
__int64 change  =   0 ;

void  Merge( int   * data, int  left, int  divide, int  right)
{
    int lengthL = divide - left;
    int lengthR = right - divide;
    
    for(int i = 0; i < lengthL; ++i)
    {
        L[i] = data[left + i];
    }
    for(int i = 0; i < lengthR; ++i)
    {
        R[i] = data[divide + i];
    }
    L[lengthL] = R[lengthR] = Max;
    int i = 0;
    int j = 0;
    for(int k = left; k < right; ++k)
    {
        if(L[i] <= R[j])
        {
            data[k] = L[i];
            ++i;
        }
        else 
        {
            change += divide - i - left ;
            data[k] = R[j];
            ++j;
        }
    }

}

void  MergeSort( int   * data, int  left, int  right)
{
    if(left < right -1)
    {
        int divide = (left + right)/2;
        MergeSort(data,left,divide);
        MergeSort(data,divide,right);
        Merge(data,left,divide,right);
    }
}

3. 树状数组
求逆序数的另外一种方法是使用树状数组
对于小数据，可以直接插入树状数组，对于大数据，则需要离散化，所谓离散化，就是将
100 200 300 400 500 ---> 1 2 3 4 5

这里主要利用树状数组解决计数问题。

首先按顺序把序列a[i]每个数插入到树状数组中，插入的内容是1，表示放了一个数到树状数组中。
然后使用sum操作获取当前比a[i]小的数，那么当前i - sum则表示当前比a[i]大的数，如此反复直到所有数都统计完，
比如
4 3 1 2
i = 1 : 插入 4 : update(4,1)，sum(4)返回1，那么当前比4大的为 i - 1 = 0;
i = 2 : 插入 3 : update(3,1)，sum(3)返回1，那么当前比3大的为 i - 1 = 1;
i = 3 : 插入 1 : update(1,1)，sum(1)返回1，那么当前比1大的为 i - 1 = 2;
i = 4 : 插入 2 : update(2,1)，sum(2)返回2，那么当前比2大的为 i - 2 = 2;

过程很明了，所以逆序数为1+2+2=5

代码示例如下：

// 树状数组
__int64 sums[ 1005 ];
int  len;

inline  int  lowbit( int  t)
{
    return t & (t^(t-1)); 
}

void  update( int  _x, int  _value)
{
    while(_x <= len)
    {
        sums[_x] += _value;
        _x += lowbit(_x);
    }
}

__int64 sum( int  _end) // get sum[1_end]
{
    __int64 ret = 0;
    while(_end > 0)
    {
        ret += sums[_end];
        _end -= lowbit(_end);
    }
    return ret;
}

// 求逆序数

__int64 ret  =   0 ;
for  (__int64 i  =   0 ; i  <  k;  ++ i)
{
    update(a[i],1);
    ret += (i+1) - sum(a[i]);
}

求逆序数的题目有：
http://poj.org/problem?id=2299
http://poj.org/problem?id=3067