关于完美洗牌算法中圈和圈起点的一个证明

我们用mod表示对一个数取余数，例如3 mod 5 = 3,  5 mod 3 = 2……   a mod b = a - [a / b] * b。

在完美洗牌算法中，我们用到了一个映射关系  i' = (i * 2) mod (2n + 1)  其中i = 1,2,3,...2n 然后我们对2m = (3^k - 1) 开始找圈了，这个结论的证明还是需要一些数论的基础。现在简要介绍一下，其中一个定理(*)的证明还是稍显复杂，不过可以可以查到。 

先把我们要证的结论用白话形容一下，

我们证明  M = 2m = 3^k - 1的情况下, i' = (i * 2) mod (M + 1) = (i * 2) mod (3^k) ，按照这个置换恰好形成k个圈，每个圈的头部（最小的数）是1,3,9,..3^(k - 1)。 （k >= 1)。证明的关键是这所有的圈合并必须包含全部从1到M之间的整数，一个都不能少。

要证这个结论，先要对原根有一个感性的认识。

一个数g，是另外一个数x的原根，是说集合S = {g ^ 0 mod x, g ^ 1 mod x, g ^ 2 mod x…… }，得到的集合包含了所有小于x并且与x互质的数。

这里S看起来像一个无限集合，实际上它是有限的。这是因为我们对x取余数，所以最多只有0到(x - 1)这x种结果。

举例，比如2是3的原根

因为2^0 mod 3 = 1, 2 ^ 1 mod 3 = 2, 2 ^ 2 mod 3 = 1, 2 ^ 3 mod 3 = 2....只有{1,2}两种结果，而且和3都互质。

而2不是7的原根，

这是因为2^0 mod 7 = 1, 2 ^ 1 mod 7 = 2, 2 ^ 2 mod 7 = 4, 2 ^ 3 mod 7 = 1 只有{1,2,4} 3种结果而没包含3，5，6。

为了方便还是先定义欧拉函数phi(x)， 也有用希腊字母φ(x)表示的，表示不超过x的整数种和x互质的个数，特别地，当p是质数的时候因为所有小于p的数都与p互质，所以phi(p) = p - 1。

那么数g，是x的原根，表示为集合S = {g ^ 0 mod x, g ^ 1 mod x, g ^ 2 mod x,……}  恰好包含phi(x)个整数。

首先，要判断原根g是x的原根，一个必要条件是g与x必须互质。否则g ^ 1 mod x 产生的数就不和x互质了。

我们之所以取g ^ 0 = 1 是为了方便。

如果我们在g ^ 0 mod x, g ^ 1 mod x, g ^ 2 mod x……这一串数中发现重复的余数，g ^ i mod x = g ^ j mod x 并且 i < j， 则有g ^ (j - i) mod x = 1  = g ^ 0 mod x (一般同余不能两遍随便做除法，但是互质的时候可以除）。这就说明在比j更早的时候，(j - i)时我们已经发现了重复的余数1了。也就是说当g与x互质的时候，按g ^ 0 mod x, g ^ 1 mod x,……的顺序，如果第一次发现重复，重复的数必定是1，这是我们从g^0开始计算的原因。出现余数循环一定是从开头循环的。这对我们要证明的结论至关重要，只看集合里元素的种类数是不够的。

比如不互质的时候 ，结论不一定正确，g = 9, x = 15, 9 ^ 0 mod 15 = 1, 9 ^ 1 mod 15 = 9, 9 ^ 2 mod 15 = 6, 9 ^ 3 mod 15 = 9, 我们发现9 ^ 3和9 ^ 1出现循环，并没有从开头的1开始循环。 

有一个著名的定理叫做费马小定理，它告诉我们当g与x互质的时候，有g ^ phi(x) mod x = 1。

结合原根的定义还有前面的结论，我们要证集合S恰好包含phi(x)个数，只需要证明{g ^ 0 mod x, g ^ 1 mod x ,……g ^ (phi(x) - 1) mod x} 这些数都不相同就可以了。

我们不加证明的给出如下结论：

p是奇素数，如果g是p的原根且g ^ (p - 1)  mod p ^ 2 != 1，则g是任意p^k的原根。(k >= 1)

p是奇素数，如果g是p ^ 2的原根， 则g是任意p^k的原根。 (k >= 1) 

这两个定理的描述和证明可参看

http://people.math.gatech.edu/~mbaker/pdf/primroots.pdf

http://en.wikipedia.org/wiki/Primitive_root_modulo_n

取g = 2, p = 3。

我们知道2是3的原根，2是9的原根。

我们定义S(k)表示上述的集合S，并且x = 3 ^ k。

所以S(1) = {1, 2}

      S(2) = {1, 2, 4, 8, 7, 5}

我们没改变圈元素的顺序，由前面的结论S(k)恰好是一个圈里的元素，且认为从1开始循环的，也就是说从1开始的圈包含了所有与3 ^ k互质的数。 

那与3 ^ k不互质的数怎么办？如果0 < i < 3 ^ k与 3 ^ k不互质，那么它与3 ^ k的最大公约数一定是3 ^ t的形式（只包含约数3),并且 t < k。即gcd(i , 3 ^ k) = 3 ^ t

我们把3 ^ t除下去，有gcd(i / (3 ^ t), 3 ^ (k - t))  = 1， i / (3 ^ t) 都与3 ^ (k - t) 互质了，并且i / (3 ^ t) < 3 ^(k - t), 根据定义，可见i / (3 ^ t) 在集合S(k - t)。 同理，任意S(k - t)中的数x，都满足gcd(x , 3 ^ k)  = 1,于是gcd(3 ^ k , x * 3 ^ t) = 3 ^ t, 并且x * 3 ^ t < 3 ^ k。可见S(k - t)中的数x * 3 ^ t 与 i形成了一一对应的关系。请仔细体会这种一一对应的关系。

      也就是说S(k - t)里每个数x * 3 ^ t形成的新集合包含了所有与3 ^ k的最大公约数为3 ^ t的数，它也是一个圈,原先圈的头部是1，这个圈的头部是3 ^ t。

于是，对所有的小于 3 ^ k的数，根据它和3 ^ k的最大公约数，我们都把它分配到了一个圈里去了。k个圈包含了所有的小于3^k的数。

举例：

比如k = 3。 我们有：

        S(3) = {1, 2 ,4 , 8, 16, 5, 10, 20, 13, 26, 25, 23, 19, 11, 22, 17, 7, 14} 包含了小于27且与27互质的所有数，圈的首部为1，这是原根定义决定的。

        那么与27最大公约数为3的数，我们用S(2)中的数乘以3得到。 S(2) * 3 = {3, 6, 12, 24, 21, 15}, 圈中元素的顺序没变化，圈的首部是3 

               与27最大公约数为9的数，我们用S(1)种的数乘以9得到。 S(1) * 9 = {9, 18}, 圈中得元素的顺序没变化，圈的首部是9。

因为每个小于27的数和27的最大公约数只有1, 3, 9这3种情况，又由于前面所证的一一对应的关系，所以S(2) * 3包含了所有小于27且与27的最大公约数为3的数，S(1) * 9 包含了所有小于27且和27的最大公约数为9的数。