1的数目

前言

国庆7天长假，自己还是要有学习计划的，前两天需要找回之前的状态，预计10道ACM题目和看完《cracking the coding interview》。话说，还算顺利的拿到了阿里的系统工程师offer，虽然没最终确定，估计问题不大了，毕竟短信都收到了，很开心却让我丧失了很多的动力，趁着国庆长假找回失去的状态，记得刚读研就是利用国庆长假看完《php和myslq开发》，从而走上了开发服务器端应用层API的道路

题目

Write a method to count the number of 2s between 0 and n.

思路一

首先，最简单的思路就是从0到n计算每个数出现2的个数。时间复杂度为0(nlogn)

/**
 * 暴力法求解
 *
 * T = O(nlogn)
 *
 */
int count2(int n)
{
	int count = 0;

	while (n) {
		if (n % 10 == 2)	count ++;

		n /= 10;
	}

	return count;
}

int calViolentTwo(int n)
{
	int i, num;

	for (i = 0, num = 0; i <= n; i ++) {
		num += count2(i);
	}

	return num;
}

上述代码最大的问题还是效率，当32bit机器，n为最大正整数2147483647,求1到n之间的2出现的数量耗时相当长久。因此，想提高效率，需要从数字中找规律，参考《编程之美》，顺便吐槽一下校招的笔试和面试题目，大部分都是《剑指offer》和《编程之美》上的，还好我都看完了

思路二

假设一个5位数abcde，我们以百位上的数字为例，即从0到abcde的数中，有多少个数的百位上是2.

当百位c为0时，例如13023,0到43023中哪些数的百位会出现2？我们从小的数开始算起，200-299,1200-1299,2200-2299,....,12200-12299,这1200个数，它们的百位为2，共1300个数，再往下，13200已经大于13023了，因此不再往下。所以当百位为0时，百位出现2的次数只由更高位决定，等于更高数位（13）×当前位数（100） = 1300个

当百位为1时，例如13123,分析跟百位为0是一样的

以上两步综合起来，可以得到以下结论：

当某一位数字小于2时，那么该位出现2的次数为：更高位数字×当前位数

当百位数字为2时，例如13223,那么除了200-299到12200-12299这1300个数外，还有13200-13223,这24个数（低位数字+1）.所以，当百位数字为2时，百位出现的次数既受高位影响也受低位影响，结论如下：

当某一位数字等于2时，那么该位出现2的次数为：更高数字×当前位数+低位数字+1

当百位数字大于2时，例如13523,那么固定低位200-299,高位依次从0到13,更1400个数字，因此出现2的次数为：（高位数字+1）×当前位数，结论如下：

当某一位数字大于2时，那么该位出现2的次数为：（更高位数字+1） × 当前位数

根据以上三条结论，可以写出如下代码：

/**
 * 数学方法
 *
 * T = O(lnN/ln10)
 */ 
int calTwo(int n)
{
	int low, high, cur, factor = 1, num = 0;

	while (n / factor) {
		cur = (n / factor) % 10;
		low = n - (n / factor) * factor;
		high = n / (factor * 10);

		switch (cur) {
			case 0 :
			case 1 :
				num += high * factor;
				break;
			case 2 :
				num += high * factor + low + 1;
				break;
			default :
				num += (high + 1) * factor;
				break;
		}

		factor *= 10;
	}

	return num;
}